Unidad 4 Anexo 3. Capítulo VI Unidad 4 Anexo 3. Capítulo VI. Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes.

U-4.A-3. Cap. VI. Ecuaciones homogéneas con coef. Constantes. Considere la ecuación lineal homogénea general de orden n con coeficientes constantes: donde a0, a1, . . . , an son constantes reales. El coeficiente principal no nulo siempre puede hacerse 1 al dividir cada término entre a0. Como los coeficientes contantes son funciones continuas en −∞ < x < ∞, las soluciones de estas ecuaciones valen en cualquier intervalo.

Los teoremas clave en este caso se pueden resumir como: U-4.A-3. Cap. VI. Ecuaciones homogéneas con coef. Constantes. Los teoremas clave en este caso se pueden resumir como: Una ecuación homogénea con coeficientes constantes de grado n tiene n soluciones linealmente independientes y1, y2, . . . , yn que son aplicables a cualquier intervalo, y su solución general se expresa: donde C1, C2, . . . , Cn son constantes arbitrarias. La solución y sus derivadas deben diferir en un múltiplo constante, por lo que se supone una solución de la forma erx, donde r es una constante.

U-4.A-3. Cap. VI. Ecuaciones homogéneas con coef. Constantes. Sustituyendo la función y = erx en la ecuación de orden superior se tiene: El polinomio o ecuación característica, cuyas raíces son los valores aceptables de r que caracterizan la solución de la ecuación diferencial dada. Si las n raíces son reales y distintas, las n soluciones son linealmente independientes y la solución general será su combinación lineal.

Caso 1: Raíces reales y distintas. U-4.A-3. Cap. VI. Ecuaciones homogéneas con coef. Constantes. Sin embargo, algunas raíces pueden repetirse e incluso, pueden ser complejas, por lo que el método de solución es análogo al de ecuaciones de 2° orden ya discutido. Caso 1: Raíces reales y distintas. Si las n raíces del polinomio característico, r1, r2, . . . , rn son reales y distintas, entonces las n soluciones de la ecuación diferencial de orden n dada son: Ninguna de estas soluciones es múltiplo constante de otra (son linealmente independientes) y la solución general es:

Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación: U-4.A-3. Cap. VI. Ecuaciones homogéneas con coef. Constantes. Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación: Solución: Ecuación lineal homogénea de 3er orden con coeficientes constantes. Su polinomio característico es: las posibles raíces son 1 y 3 y al dividir el polinomio característico entre r + 3 se obtiene la ecuación cuadrática r2 + 3r – 1 = 0, cuyas raíces son: Es decir, las tres raíces son reales y distintas.

Por tanto, la solución general de la ecuación dada es: U-4.A-3. Cap. VI. Ecuaciones homogéneas con coef. Constantes. Por tanto, la solución general de la ecuación dada es: donde C1, C2 y C3 son constantes arbitrarias. Observe que una ecuación lineal homogénea de tercer orden con coeficientes constantes tiene tres soluciones linealmente independientes, y su solución general es la combinación lineal de ellas.

Caso 2: Raíces repetidas. U-4.A-3. Cap. VI. Ecuaciones homogéneas con coef. Constantes. Caso 2: Raíces repetidas. Cuando las raíces del polinomio característico se repiten dos o más veces, la solución incluye menos de n términos linealmente independientes. En ecuaciones de 2° orden, se sabe que si r1 es una raíz doble entonces: Son las dos soluciones linealmente independientes, y2 obtenida mediante el método de reducción del orden. Se puede probar que si r1 es una raíz triple, también será una solución.

U-4.A-3. Cap. VI. Ecuaciones homogéneas con coef. Constantes. Generalizando: Si r1 es una raíz de multiplicidad k de un polinomio característico, entonces: son las k soluciones linealmente independientes que corresponden a esta raíz. Por ejemplo, la solución general de una ecuación de 6° orden cuyo polinomio característico tiene una raíz triple r1, una raíz doble r2 y una raíz simple r3 es: Una raíz r repetida k veces produce como solución un polinomio de grado k – 1 por erx.

Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación: U-4.A-3. Cap. VI. Ecuaciones homogéneas con coef. Constantes. Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación: Solución: Ecuación lineal homogénea de 4° orden con coeficientes constantes. Su polinomio característico es: Posibles raíces: −1 y − 5 (las positivas no porque todos los coeficientes del polinomio son positivos). Al dividir entre r + 5 se obtiene la ecuación cúbica r3 + 3r2 + 3r + 1 = 0, cuyas tres raíces son iguales:

Por tanto, la solución general de la ecuación es: U-4.A-3. Cap. VI. Ecuaciones homogéneas con coef. Constantes. Así, las cuatro raíces del polinomio característico son −1 como una raíz triple y −5 una raíz simple, todas reales. Por tanto, la solución general de la ecuación es: donde C1, C2, C3 y C4 son constantes arbitrarias. Observe que una ecuación lineal homogénea de 4° orden con coeficientes constantes tiene cuatro soluciones linealmente independientes, y su solución general es la combinación lineal de ellas.

Caso 3: Raíces complejas. U-4.A-3. Cap. VI. Ecuaciones homogéneas con coef. Constantes. Caso 3: Raíces complejas. En ecuaciones polinomiales con coeficientes reales, toda raíz compleja debe aparecer en pares conjugados; es decir, si a + ib es una raíz, también lo es a − ib. En el caso de ecuaciones de 2° orden, la solución general correspondiente a dos raíces complejas del polinomio característico es: Es decir, las soluciones linealmente independientes que corresponden a tales raíces son:

U-4.A-3. Cap. VI. Ecuaciones homogéneas con coef. Constantes. El caso es análogo sin importar el orden de la ecuación diferencial. Las soluciones correspondientes a otras raíces complejas conjugadas se determinan de la misma manera. Si un par de raíces complejas conjugadas se repiten k veces (los coeficientes del polinomio son reales), aplica el procedimiento detallado anteriormente. Entonces, la parte de la solución correspondiente a un par de complejos conjugados a  ib repetido k veces es:

Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación: U-4.A-3. Cap. VI. Ecuaciones homogéneas con coef. Constantes. Ejemplo: Determine la solución general de la ecuación: Solución: Ecuación lineal homogénea de 4° orden con coeficientes constantes. Su polinomio característico es: cuyas raíces son −3i, −3i, 3i y 3i; es decir, el complejo conjugado 3i es una raíz doble del polinomio. Por tanto, la solución general de la ecuación diferencial es:

U-4.A-3. Cap. VI. Ecuaciones homogéneas con coef. Constantes. Algunos modelos generan un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas de 1° o 2° orden, que se pueden agrupar en una ecuación de orden superior. Ejemplo: La figura representa un edificio de 2 pisos de masas m1 y m2. Cada piso se apoya en 6 columnas. En un sismo, el suelo y los pisos se mueven en forma horizontal mientras que las columnas actúan como resortes que se oponen a este movimiento. Las rigideces horizontales de cada grupo de columnas son k1 y k2 y el movimiento horizontal del suelo es y.

a) Desarrolle un modelo de la respuesta del edificio al movimiento y. U-4.A-3. Cap. VI. Ecuaciones homogéneas con coef. Constantes. m1 m2 x2 k1 k2 x1 y a) Desarrolle un modelo de la respuesta del edificio al movimiento y. b) Obtenga un solo modelo de ecuación del edificio si las masas y rigideces son idénticas y encuentre su solución homogénea.

El diagrama de cuerpo libre para el caso y > x1 > x2 es: U-4.A-3. Cap. VI. Ecuaciones homogéneas con coef. Constantes. Solución: a) La figura representa el movimiento de los pisos como dos bloques que se deslizan en una superficie sin fricción impulsados por el movimiento y(t). El diagrama de cuerpo libre para el caso y > x1 > x2 es: m1 m2 k1(y – x1) k2(x1 – x2) Del diagrama y las leyes de Newton se obtienen las siguientes ecuaciones de movimiento:

b) Para masas y rigideces idénticas se convierte en: U-4.A-3. Cap. VI. Ecuaciones homogéneas con coef. Constantes. b) Para masas y rigideces idénticas se convierte en: Dividiendo entre m y haciendo a = k/m se tiene: Ahora, obtenga y derive dos veces a x2 de la 1ª ecuación. Sustituyendo ambas en la 2ª ecuación se obtiene: una ecuación de 4° orden para x1.

Como r2 < 0, las raíces son complejas conjugadas, U-4.A-3. Cap. VI. Ecuaciones homogéneas con coef. Constantes. su polinomio característico es r4 + 3a r2 + a2 = 0, de 2° grado en r2 y se resuelve con la fórmula general: Como r2 < 0, las raíces son complejas conjugadas, y la solución homogénea tiene la forma