Unidad 2 Capítulo I Descripción general

U-2. Cap. I. Descripción general Por definición, las ecuaciones diferenciales de primer orden solamente contienen primeras derivadas. Considerando y como la función que se quiere determinar y x como la variable, una ecuación diferencial se expresa en forma general como: Por simplicidad, se hablará solamente de ecuaciones en las que la derivada pueda expresarse en términos de x e y. Es decir, ecuaciones de la forma:

U-2. Cap. I. Descripción general La apariencia de esta ecuaciones resulta engañosa y provoca la sensación de que son fáciles de resolver. Algunas veces esto es cierto, pero es frecuente que la búsqueda de su solución no es un desafío menor. No existe un método general para dar respuesta exacta a todas las ecuaciones diferenciales de primer orden. Los métodos de resolución existentes sólo se aplican a ciertas clases de ecuaciones diferenciales; por lo tanto, se requiere de su clasificación para su posterior estudio en grupos separados.

U-2. Cap. I. Descripción general En esta unidad se plantea identificar los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden y desarrollar sus métodos de resolución. El orden de presentación se fundamenta en los conceptos y recursos involucrados en su discusión. En primer lugar se plantea el estudio de un conjunto de ecuaciones no lineales, entre ellas: variables separables, homogéneas, exactas y de factor integrante Con los elementos conceptuales que aporta la discusión anterior, es posible elaborar un método sistemático para la posterior resolución de las ecuaciones lineales.

U-2. Cap. I. Descripción general Una vez resuelto el problema de las ecuaciones lineales, se puede abordar la resolución de una ecuación no lineal, conocida como ecuación de Bernoullí mediante su transformación en una ecuación diferencial lineal de primer orden. Finalmente, dado que no existe un método analítico para resolver la ecuación de Riccati, aquí se sugiere un procedimiento que permite transformarla en una ecuación diferencial lineal de segundo orden, para su posterior resolución a través de un método apropiado que será discutido más adelante.

Objetivos de esta unidad: U-2. Cap. I. Descripción general Objetivos de esta unidad: Clasificar ecuaciones diferenciales de primer orden como lineales o no lineales y, en este último caso, si son de variables separables, homogéneas, exactas, de factor integrante, de Bernoullí o de Riccati. Resolver ecuaciones diferenciales de primer orden a través del uso del método que sugiera la clasificación previa. Usar ecuaciones diferenciales de primer orden como el modelo matemático de procesos dinámicos sencillos e interpretar la información que genera su resolución en torno al comportamiento de tales procesos.