Investigación de operaciones Autor: Raymundo Palacios Capítulo 5 Análisis de sensibilidad aplicado al método gráfico

5.1 Introducción Vivimos en un mundo dominado por la producción, la distribución e intercambio de productos y servicios entre proveedores y consumidores. A una organización nadie le garantiza: 1. Que los precios de la materia prima utilizada en la producción no suban con el transcurso del tiempo. 2. Que la oferta y la demanda en la venta de un producto o un servicio no varíen. 3. Que no suba el costo de distribución del producto.

5.1 Introducción El análisis de sensibilidad permite estudiar el resultado de estos cambios, examinando cómo se afecta la solución óptima para un problema de logística de una organización, al estudiar cuantitativamente cómo varían los coeficientes de las variables de la función objetivo que condujeron a una solución óptima. Al análisis de sensibilidad frecuentemente se le denomina análisis de post optimalidad, ya que se aplica cuando ya se obtuvo la solución óptima.

5.1 Introducción Aplicando el análisis de sensibilidad, podemos responder a las siguientes preguntas: ¿Cómo será afectada la solución óptima si cambiamos uno o dos coeficientes de las variables de la función objetivo? ¿Cómo serán afectadas la solución óptima y la región factible, si modificamos algún valor del lado derecho de una o más restricciones?

5.2 CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO Recordemos el problema de programación lineal basado en la fabricación de dos tipos de sofás en el que se deseaba saber la cantidad que debería fabricarse de sofás A y B, con la finalidad de maximizar la ganancia. El problema fue formulado y solucionado inicialmente como sigue : Formulación (capítulo 3, pág. 55) Solución gráfica (capítulo 4, pág. 65):

5.2 CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO Una fábrica de muebles elabora un sofá tipo A y otro tipo B en cuatro departamentos de la siguiente manera (Ver la tabla 3.1): Se desea saber cuántos sofás del tipo A y B se deben fabricar para maximizar las ganancias. El precio de cada sofá A es de €10 y el del sofá B es de €25 por pieza. El problema de PL queda planteado como sigue: Maximizar: Z = 10 X + 25 Y Sujeto a: X+ 2Y ≤ 80 Departamento de corte (3/4)X + (1/2)Y ≤ 20 Departamento de armado X≤ 50 Departamento de tapicería Y≤ 10 Departamento de cubiertas donde: X,Y ≥ 0

5.2 CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO En la figura 5.1 no se consideraron las restricciones de los departamentos de corte y tapicería, debido a que son redundantes; es decir, no son necesarias para obtener la solución óptima. Ésta se basó en una ganancia de €10 para el sofá del tipo A y de €25 para el sofá de tipo B, lo que nos lleva a producir 20 sofás de tipo A (X = 20) y 10 sofás de tipo B (Y = 10), aportando una utilidad máxima de €450. Z = 10X + 25Y = 10(20) + 25 (10) = 200 + 250 = 450

5.2 CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO Suponga que la demanda de sofás de tipo B disminuye drásticamente, lo que lleva a una reducción de 40% en su precio, debido a que 12 industrias nuevas deciden fabricar y comercializar el mismo producto, por lo que aumenta la oferta. Por tanto, la ganancia disminuye de €25 a €15. ¿Puede utilizarse el análisis de sensibilidad para determinar si elaborar 20 sofás de tipo A (X = 20) y 10 sofás de tipo B (Y = 10) aún es la mejor opción?

5.2 CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO La función objetivo cambia a: Z = 10X + 15Y = 10(20) + 15(10) = 200 + 150 = 350 Al examinar la figura 5.2, nos percatamos de que la ganancia disminuyó un 40% para el sofá tipo B; sin embargo, las coordenadas del vértice J que proveen la solución óptima aún son X = 20 y Y = 10. La conclusión es que existen rangos para los coeficientes de la función objetivo que nos permiten evaluar el límite superior e inferior para estos coeficientes, sin cambiar las coordenadas del vértice que corresponde a la solución óptima, como se ilustra en la siguiente diapositiva.

5.2 CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO VARIABLE LÍMITE INFERIOR   COEFICIENTES FUNCIÓN OBJETIVO LÍMITE SUPERIOR X 10 37.5 Y 6.66 25 Sin límite

5.2 CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO Los valores de disminución permisible y aumento permisible de la función objetivo se calculan como sigue: Disminución permisible = Valor actual – Límite inferior para X, Disminuciónpermisible = 10 – 0 = 10 para Y, Disminución permisible = 25 – 6.66 = 18.34 Aumento permisible = Límite superior – Valor actual para X, Aumento permisible = 37.5 – 10 = 27.5 para Y = Aumento permisible = ꝏ - 25 = ꝏ La tabla de valores se complementa en la siguiente diapositiva como sigue:

5.2 CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO VARIABLE LÍMITE INFERIOR COEFICIENTES FUNCIÓN OBJETIVO SUPERIOR DISMINUCIÓN PERMISIBLE AUMENTO PERMISIBLE X 10 37.5 27.5 Y 6.66 25 Sin límite 18.34

5.2 CAMBIOS SIMULTÁNEOS EN LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO El análisis de sensibilidad aplicado a los coeficientes de la función objetivo, se basa en la hipótesis de que un solo coeficiente de la función objetivo cambia a la vez y que las demás variables del problema original permanecen inalterados; sin embargo, con la regla del 100 % es posible realizar cambios simultáneos en los coeficientes de la función objetivo.

La regla del 100 % Para todos los coeficientes de la función objetivo que se modifican, sume los porcentajes de los aumentos y las disminuciones permisibles. La solución óptima no variará si la suma de los porcentajes es menor o igual al 100 %.