LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ÁNGULOS

Circunferencia r O Definición :Una circunferencia es una curva plana cerrada, cuyos puntos equidistan (están a igual distancia ) de otro interior llamado centro . La notación (O,r) indica una circunferencia con centro en O y radio r r O

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA Recta Tangente L B D O A L : Recta Secante E C OE: Radio

Ángulo del centro Definición: Es el ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son radios de la circunferencia A B O

Ángulo inscrito Definición: El ángulo inscrito tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son cuerdas de la circunferencia C A B

Ángulo semi-inscrito C B A Definición: Es el ángulo formado por una cuerda y el rayo tangente en uno de sus extremos . C B A

TEOREMAS

Teorema 1 Un ángulo del centro tiene la misma medida que el arco comprendido entre sus lados O = arco AB A B

Ejemplo Solución: O B A En la figura la medida del arco AB es es de 50º ¿Cuánto mide el ángulo ? Solución: O B A

TEOREMA 2 Todo ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad de la medida del arco que subtienden sus lados. A B

EJEMPLO A B En la figura, el arco AB mide70º.¿Cuánto mide el ángulo ? SOLUCIÓN: A B

TEOREMA 3 Todo ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo del centro que comprende el mismo arco entre sus lados

TEOREMA 4 Todo ángulo del centro de una circunferencia es igual al doble del ángulo inscrito que comprenden el mismo arco entre sus lados.

TEOREMA 5 Todo ángulo semi inscrito en una circunferencia es igual al ángulo inscrito en el mismo arco.

TEOREMA 6 Todos los ángulos inscritos en el mismo arco son iguales entre sí

TEOREMA 7 Todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia son rectos (90º)

ÁNGULOS INTERIORES EN LA CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN : Un ángulo interior a una circunferencia puede definirse como el ángulo formado por dos cuerdas que se cortan D B Ángulo APD es interior en la circunferencia de centro O O . P C A

Teorema 8 En una circunferencia , la medida de un ángulo interior se puede calcular mediante la expresión : D B X X C A

Ángulo exterior a la circunferencia Definición: Un ángulo exterior de una circunferencia es aquel cuyo vértice está en el exterior de la circunferencia y cuyos lados son secantes o tangentes Es un ángulo exterior o

Teorema 9 En una circunferencia , la medida del ángulo exterior se puede calcular aplicando la expresión: x

EJERCICIOS 1.- El arco = 108º y el ángulo = 52. ¿Cuánto mide el arco ?

2.-En la figura el arco DA = 68º y el arco CB = 74º¿Cuánto mide el ángulo CPB?

3.- Calcula la medida de los elementos pedidos en cada una de las siguientes figuras. =______________ 45º 31º

25º o 48º = _________________