Preparándonos para el tercer parcial Algunos ejercicios que involucran derivadas parciales

Regla de la cadena Verificar la regla de la cadena para h/x donde h(x; y) = f(u(x; y); v(x; y)) y SOLUCIÓN Para hacer la verificación, primero aplicaremos la fórmula de la regla de la cadena y luego haremos el reemplazo de u y v en f y haremos el cálculo como derivada parcial.   Aplicando la regla de la cadena tenemos:

Operando tenemos:

Ahora haremos el mismo cálculo reemplazando u y v en f y derivando parcialmente: Que es el mismo resultado obtenido aplicando regla de la cadena. Por lo tanto hemos verificado la propiedad.

Linealización Determinar si la siguiente proposición es válida en las cercanías del (0;0): SOLUCIÓN La expresión lineal propuesta será una aproximación de la función dada cerca del (0;0) si se trata de la función linealización centrada en ese punto.  

Derivada direccional y gradiente Calcular la derivada direccional de la siguiente función en el punto indicado y en la dirección dada: f(x; y) = xy, (x0; y0) = (e; e), d = 5i + 12j SOLUCIÓN Recordemos que Duf(x0) = f(x0)·u; entonces:  

Plano tangente ¿Dónde cruza al eje z el plano tangente a z = e(x - y) en (1; 1; 1)?: SOLUCIÓN La forma del plano tangente expresado en términos de las derivadas parciales en un punto (x0; y0; z0) es: En nuestro caso particular tenemos que (x0; y0; z0) = (1; 1; 1) y:  

Y, reemplazando en la ecuación del plano, En el eje z tenemos x = y = 0, y por lo tanto el plano tangente cruzará a ese eje en:   z = 1

Aproximación lineal A efectos de modelizar el proceso de desgaste de las pirámides egipcias, se construye un modelo en miniatura de las mismas, con un lado de la base de 6 cm y una altura de 4 cm. Luego de someterlo a rigurosas condiciones ambientales, se comprueba que el lado de la base disminuyó en 0,1 cm, y la altura disminuyó en 0,2 cm. Mediante una expresión lineal, aproximar cuál es el área lateral de la pirámide después del desgaste. SOLUCIÓN Éste es un problema de modelización, en el cual no sabemos cuál es la función a aproximar, sino que la debemos deducir de la situación física que se nos describe.   x y h

De manera que el área de uno de estos triángulos será: En nuestro caso, tenemos que determinar el área lateral de la pirámide en función de las magnitudes que conocemos, esto es el lado de la base y la altura. Si llamamos x y y a ambas variables, podemos denominar h a la altura de cada uno de los triángulos que componen el área lateral de la pirámide. Por el teorema de Pitágoras, h puede ser expresado en términos de x y y, de la manera que sigue: x y h De manera que el área de uno de estos triángulos será: Y el área lateral completa será 4 veces el área de cada uno de los triángulos:

Si ahora nos proponemos aproximar esta área en base a una estimación lineal, podemos tomar como punto de partida las dimensiones iniciales del sólido; esto es:   (x0; y0) = (6; 4) De esa manera podemos plantear la aproximación lineal para el área lateral:

Para determinar aproximadamente el valor cuando el lado de la base disminuyó 0,1 cm y la altura disminuyó 0,2 cm, debemos adoptar x – 6 = –0,1 y – 4 = –0,2 Y en tales condiciones tendremos:   A = 60 – (68/5)·0,1 – (48/5)·0,2 = 60 – 3,28 = 56,72 cm3