Guía 10: Los Números Reales Racionales e Irracionales
Durante el estudio de los Conjuntos Numéricos, nos apoyamos en la representación gráfica de estos. Esta representación consiste en asociar a cada punto de una línea recta un número, creando así una Recta Numérica.
¿Qué necesitamos para construir una recta numérica? Lo primero que debemos definir es dónde se ubicará el CERO y el largo del segmento unidad.
El primer conjunto numérico que representamos fue el Conjunto de los Números Naturales.
Pero nos dimos cuenta que hay muchos problemas que no pueden ser resueltos sólo con los Números Naturales. Entonces ampliamos este conjunto considerando la metáfora del Espejo y así asociamos a cada número natural un número negativo.
Continuando el estudio, nos volvimos a enfrentar con situaciones donde el conjunto numérico tratado, no era suficiente para resolver variados problemas.
La estrategia entonces fue dividir el segmento unidad en partes iguales. Puede ser en : 2 3 4 5 O quizás 10, 20, 100, 1000… ¡el número de partes que se necesite!
¿Son los Números Enteros parte del conjunto de lo Números Racionales? Todos estos números forman parte del conjunto de los Números Racionales. ¿Son los Números Enteros parte del conjunto de lo Números Racionales?
¿Habremos finalizado la construcción de una recta numérica? ¿Todos los puntos de la recta tendrán asociado un número? Veamos el siguiente caso…
En el año 530 a. C. existió una escuela en Grecia, dedicada al estudio de la filosofía, matemática y las ciencias naturales. Esta escuela era conocida por el nombre de su fundador como La Escuela Pitagórica.
En uno de sus estudios se encontraron con el siguiente problema: ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1?
¿Cuál crees que es el valor de x? Para determinar el valor de x ubicaremos el cuadrado sobre la recta numérica y también la diagonal: ¿Cuál crees que es el valor de x?
¿Cuánto crees ahora que mide? Si hacemos un acercamiento en la recta numérica, podemos tener una mejor aproximación. ¿Cuánto crees ahora que mide?
Haciendo uso de sus conocimientos, La Escuela Pitagórica calculó la medida de la diagonal utilizando el Teorema de Pitágoras ¡Calcúlalo!
Ese punto en la recta no es nada menos que ¡Exactamente! Ese punto en la recta no es nada menos que
En una calculadora, calcula ¿Qué valor obtuviste? Aquí te presentamos su valor con los primeros 65 decimales: = 1, 41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799 … Y aun tiene más decimales …
Consideremos una circunferencia cuyo diámetro mide uno. Veamos otra situación, Consideremos una circunferencia cuyo diámetro mide uno. ¿Cuánto mide el perímetro de esta circunferencia? Observa la siguiente animación:
La letra se lee ‘pi’ y representa el resultado de la pregunta anterior. Según lo que viste en la animación, ¿cuánto vale ?
Y aun tiene más decimales … Estos son los primeros 100 decimales de : = 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 … Y aun tiene más decimales …
Y así como estos dos números, hay muchos más en la recta numérica. ¿Qué características tienen en común estos dos números? ¿Notas alguna diferencia o similitud con los números del Conjunto de los Racionales? Y así como estos dos números, hay muchos más en la recta numérica.
Podemos pesar así, Consideremos un número decimal que posee infinitos dígitos después de la coma. Si en estos dígitos se observa un periodo, entonces decimos que es el resultado de una división de dos números enteros y se puede expresa como una fracción. Hablamos de un Número Racional.
¿Podrías dar 3 ejemplos? Escríbelos
Este tipo de número recibe el nombre de Número Irracional. Por otra parte, si este desarrollo decimal no posee periodo, no se tratará de un cuociente entre números enteros, es decir, no es un Número Racional. Este tipo de número recibe el nombre de Número Irracional.
¿Podrías dar 3 ejemplos? Escríbelos
Conjunto de los Números Reales Finalmente, todos los problemas que has estudiado hasta el momento tienen solución en un solo gran conjunto en que se unen el Conjunto de los Números Racionales y el Conjunto de los Números Irracionales y se conoce como Conjunto de los Números Reales IR
De esta manera hemos completado la recta numérica, asociando a cada punto de ella un número real.
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