UPC Derivada de una función. Aplicaciones Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Laureate International Universities* TÓPICOS DE MÁTEMATICA 1 MA112 EPE-SISTEMAS UPC Derivada de una función. Aplicaciones

. Definir la derivada de una función. Habilidades: . Definir la derivada de una función. . Interpretar geométricamente la derivada de una función. . Determinar los puntos críticos de una función. . Determinar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado. . Describir el concepto de punto de inflexión de una gráfica. . Analizar la concavidad de una función a través de su segunda derivada. . Resolver problemas de máximos y mínimos de una función en una variable.

La Pendiente de una Curva ¿Una curva tiene pendiente? Entenderemos por pendiente de una curva a la pendiente de la recta que mas se asemeja (ajusta) a la curva. ¿y cuál es esta recta?

Observar que para un valor x=a del dominio de la función f(x) en el caso de existir una recta tangente a la gráfica de f en el punto (a,f(a)), podemos realizar una relación entre el punto a y el valor de este límite denotado por f ’(a) y llamado derivada de la función f en el punto x=a De allí que podemos definir la función derivada Función Derivada La derivada de una función f con respecto a la variable x es la función cuyo valor en x en el caso de existir es:

REGLAS DE DERIVACIÓN 4. Si f es derivable y c constante, se tiene: 1. Sea f(x) = k, entonces: D (c) = 0 x 2. Sea f(x) = x, entonces: 3. Sea f(x) = xn, entonces: 4. Si f es derivable y c constante, se tiene:

Reglas de Derivación 5. Si f y g son funciones derivables y a y b son constantes se tiene que: 6. Si f y g son funciones derivables, entonces la derivada del producto es:

Reglas de Derivación 7. Si f y g son funciones derivables y no es cero, entonces la derivada del cociente es: 8. Si y , entonces la regla de la cadena se define por:

Derivadas de funciones EXP, LOG y TRIG. Derivada de funciones exponenciales i) ii) Derivada de funciones logarítmicas Derivada de funciones Trigonométricas

LA DERIVADA EN EL ANALISIS DE FUNCIONES

Extremos de una función Sea D (intervalo) contenido en el Dom(f) El punto a є D se llama Punto mínimo en D si: Al valor f(a) se le llama mínimo de la función f(x) en D Ejemplo: f(x)=x2-4x+5

Extremos de una función Sea D (intervalo) contenido en el Dom(f) El punto a є D se llama Punto máximo en D si: Al valor f(a) se le llama máximo de la función f(x) en D Ejemplo: f(x)=4x-x2+2

Llamamos punto extremo en D si es punto máximo o mínimo Llamamos valor extremo de la función al valor máximo o mínimo de dicha función.

TEOREMA Si c es un punto de extremo local de f, entonces f ’(c) = 0 OBSERVACIÓN: Llamamos punto extremo en D si es punto máximo o mínimo Llamamos valor extremo de la función al valor máximo o mínimo de dicha función. TEOREMA f ’(c) = 0 Si c es un punto de extremo local de f, entonces

PUNTOS CRITICOS Definición: Un número c del dominio de f se llama número crítico o punto crítico de f si f ’(c) = 0. Ejemplo: Determinar el punto crítico de:

Procedimiento para determinar los máximos o mínimos de una función continua f en [a, b] 1. Hallar todos los puntos críticos de f en [a, b] 2. Hallar f(c) para cada punto crítico c 3. Calcular f(a) y f(b) 4. El mayor de los números hallados en 2 y 3 es el máximo absoluto de f en [a,b] y el menor el mínimo absoluto. Ejemplo: Determinar los valores máximo y mínimo absolutos de:

TEOREMA  Sea f continua en [a, b] y derivable en (a;b), entonces: > 1. Si f ’(x) 0 en (a; b) entonces f es estrictamente CRECIENTE en [a,b] 2. Si f ’(x) 0 en (a; b) entonces f es estrictamente DECRECIENTE en [a;b] 

Ejemplo: Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:

Criterio de la primera derivada Si c es un punto crítico de f y f es derivable alrededor de c, entonces: Si f ´ cambia de + a - en la vecindad de c entonces c es un punto de MÁXIMO local de f ii) Si f ´ cambia de - a + en la vecindad c entonces c es un punto de MÍNIMO local de f

Ejemplo: Determinar los valores extremos locales de:

TEOREMA Sea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces: 1. Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia > + arriba en x = c abajo < - 2. Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia en x = c

Criterio de la segunda derivada Sea c un punto crítico de f en el cual f ’(c) = 0 entonces: Si f ’’(c) > 0, c es un punto de mínimo local. 2. Si f ’’(c) < 0, c es un punto de máximo local

PUNTO DE INFLEXIÓN La gráfica de f tiene en el punto (c, f(c)) un punto de inflexión si: 1 f es continua en c 2 La gráfica tiene tangente en el punto sentido en c 3 La concavidad cambia de

PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LOS PUNTOS DE INFLEXION i) Determinar los puntos donde f ’’ es cero o no existe ii) Verificar si cada uno de estos puntos es de inflexión. Esto es: Si f es continua Si la derivada existe o tiene límite infinito (tang. vertical) Si f ’’ cambia de signo

Ejemplo: Determinar: a) Intervalos de concavidad. b) Puntos de inflexión c) Trazar la gráfica de f Para: