Conociendo Números Irracionales Famosos 1 1 1

Parte I Objetivo: Repasar cuáles son los números naturales, enteros, racionales, irracionales, reales y relaciones entre ellos. En la siguiente tabla escribe dos ejemplos inventados por tí de números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Autoevalúa tu ejecutoria utilizando la rúbrica 1. 2 2 2

Números Ejemplo 1 Ejemplo 2 Auto evaluación % Dominio Naturales Enteros Racionales Irracionales Reales 3 3

Número de ejercicios correctos Rúbrica 1 Escala Número de ejercicios correctos Interpretación Dominó 10, 9 u 8 Si resulta que 70% o mas de los estudiantes no dominaron la destreza se sugiere se retomen los conceptos y se presenten otros ejemplos antes de pasar a la parte III. Dominio Parcial 7, 6, 5 No Dominó 4, 3, 2 o 1 4 4 4

Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales. Autoevalúa tu ejecutoria utilizando la rúbrica 2 5 5

Número de ejercicios correctos Escala Número de ejercicios correctos Interpretación Dominó 6 ó 7 Si resulta que 70% o mas de los estudiantes no dominaron la destreza, se sugiere se retomen los conceptos y se presenten otros ejemplos antes de pasar a la parte III. Dominio Parcial 4 ó 5 No Dominó 1, 2 ó 3 6 6

Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales Tabla 2 Número Racional Irracional 754.86  7.282828… ⅝ 3.14 7 7 7

Parte II Objetivo: Aproximar el valor de  buscando la razón entre la circunferencia y el diámetro de objetos circulares. Se le proveerá al estudiante 3 objetos circulares, cinta métrica y una regla. Llenarán la Tabla 3 indicando la medida en centímetros de la circunferencia y del diámetro de los objetos circulares. Calcularán la razón entre la medida de la circunferencia y la medida del diámetro. Buscarán en el salón un objeto circular y repetirán las instrucciones. 8 8 8

Medida Circunferencia Circunferencia / Diámetro Tabla 3 Objeto Medida Circunferencia Medida Diámetro Circunferencia / Diámetro 9 9

Reflexión Resumen: 10 10 10

Datos históricos y/o curiosos de  Muchos intentos para determinar  con exactitud están relacionados con el clásico problema de la cuadratura del círculo: "construir, utilizando únicamente regla y compás, un cuadrado de área igual a un círculo dado" 11 11 11

Modernamente para evaluar  se utiliza una serie infinita convergente Modernamente para evaluar  se utiliza una serie infinita convergente. Este método fue utilizado por primera vez en Kerala (India) en el Siglo XV. Johan Heinrich Lambert(1728-1777), matemático alemán, probó que  es irracional. ( Un número irracional no se puede escribir en forma de fracción racional). Ferdinand Lindemann(1852-1939) demostró que  es un número trascendental. Esto significa, entre otras cosas, que el problema de la cuadratura del círculo no tiene solución. Pese a ello todavía se sigue intentando. No es solución de ninguna ecuación algebraica. En 1959, ordenadores en Francia e Inglaterra calcularon más de 10,000 cifras de . En Julio de 1997, Yasumasa Kanada y Daisuke Takahashi obtuvieron 51,539,600,000 cifras, utilizando un HITACHI SR2201 con 1024 procesadores. 12 12

Parte III Objetivo: Medir la hipotenusa de triángulos rectángulos donde los catetos midan igual a un número natural. Comprobar las medidas con el Teorema de Pitágoras y observar que surgen números irracionales 13 13 13

Tabla 4 Figura Medida Cateto1 = cateto2 Medida hipotenusa Usando el teorema de Pitágoras calcular la hipotenusa (Se obtiene un número irracional) Aproximar con la calculadora el valor de h 14 14 14

Midiendo el valor de la hipotenusa resulto 1.4 cm Utilizando papel cuadriculado construir un triángulo rectángulo cuyos catetos miden igual a una unidad ( 1 cm, 1 “, etc.) . Medir la hipotenusa. Utilizar el Teorema de Pitágoras para comprobar las aproximaciones. Ejemplo Midiendo el valor de la hipotenusa resulto 1.4 cm h 1 cm 1cm 15 15 15

Generalizando: Si los catetos miden igual a un numero natural x Generalizando: Si los catetos miden igual a un numero natural x . Al utilizar el Teorema de Pitágoras, obtenemos: 16 16 16

Parte IV Objetivos: Resolver una ecuación cuadrática y obtener un número irracional, llamado la razón dorada. Comentar datos de la razón dorada. Realizar una actividad con fotos, calculando la razón entre la distancia de la barbilla a la frente con la distancia entre las orejas y observar que aproximadamente resulta el número o razón dorada. Relacionar la razón dorada con la sucesión de Fibonnacci. 17 17 17

Usando la fórmula cuadrática resolver la ecuación x2 – x – 1 = 0 18 18 18

Áreas donde se aplica la razón La anatomía de los humanos se basa en una relación Phi (φ) exacta,. Razones entre partes del cuerpo resultan en una aproximación de este número, tales como: La razón entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo. La razón entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos. La razón entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla. La razón entre el diámetro de la boca y el de la nariz 19 19

20 20

Los artistas del Renacimiento utilizaron la sección áurea en múltiples ocasiones tanto en pintura, escultura como arquitectura para lograr el equilibrio y la belleza. Leonardo da Vinci, por ejemplo, en su cuadro de la Gioconda (o Mona Lisa) utilizó rectángulos áureos para plasmar el rostro de Mona Lisa. Se pueden localizar muchos detalles de su rostro, empezando porque el mismo rostro se encuadra en un rectángulo áureo. 21 21

Además, por ejemplo, Leonardo da Vinci utilizó la razón áurea para definir todas las proporciones fundamentales en su pintura La última cena, desde las dimensiones de la mesa, hasta la disposición de Cristo y los discípulos sentados, así como las proporciones de las paredes y ventanas al fondo. 22 22

En muchos ejemplos de la naturaleza, nos encontramos con los números de Fibonnacci. Uno de ellos es la forma en que se ordenan las semillas en el girasol de la fotografía. Si cuentas bien los espirales que se forman hacia la derecha y hacia la izquierda, verás que hay 34 curvas en un sentido y 21 en el otro: ambos son números consecutivos de la sucesión de Fibonacci. 23 23

Zuleyka Rivera Carlos Arroyo Utilizando las siguientes fotos, calcular una aproximación de la razón áurea. Medir, en centímetros, la distancia de la barbilla hasta la cabeza y la distancia entre las orejas. Zuleyka Rivera Carlos Arroyo 24 24 24

Calculemos la razón entre un término Relacionar la razón dorada con la sucesión de Fibonnacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Calculemos la razón entre un término y el anterior. 25 25 25

¿Por qué la sucesión se llama sucesión de Fibonnacci ? Esta sucesión tiene el nombre en honor al matemático italiano Leonardo de Pisa. La sucesión recibe el nombre de Fibonnacci por “ filius Bonacci”, que quiere decir hijo de Bonacci. Recibe el nombre en honor a su padre, quien era representante de los mercaderes de la república de Pisa en los negocios de Argelia. 26 26

¿Cómo surgió la sucesión? La sucesión surge al determinar el número de parejas de conejos que se tendrán al cabo de un año, sabiendo que se comienza con una sola pareja y que cada pareja engendra mensualmente otra pareja a partir de su segundo mes de vida. 27 27

Hacer un mapa de conceptos de lo aprendido 28 28