Distribuciones de probabilidad (variables discretas Prof. Lernisse V. Collazo, MA

Variables aleatorias Es la variable que asume un valor numérico único para cada una de los resultados en el espacio muestral de un experimento de probabilidad. Se usa para denotar los resultados de un experimento de probabilidad. La variable aleatoria puede tomar cualquier valor númerico que pertenezca al conjunto de todos los posibles resultados del experimento. Se llama aleatoria porque le valor que asume es resultado de un evento de posibilidad o aleatorio.

Ejemplos de Variables aleatorias Cada evento en un experimento de probabilidad también debe definirse en tal forma que sólo se le asigne un valor de la variable aleatoria (eventos mutuamente excluyentes) y cada evento debe tener un valor asignado (evento todo incluido). Ejemplo A. Lanza 5 monedas y observa el “# de caras” visibles. La variable aleatoria x es el # de caras observadas y puede tomar valores enteros de 0 a 5. B. Sea “# de llamadas telefónicas recibidas” por una compañía de variable aleatoria. Valores enteros que varían de cero a algún # muy grande son posibles valores.

Ejemplos de Variables aleatorias C. Sea “longitud del cable en un electrodoméstico” una variable aleatoria. La variable aleatoria es un valor numérico entre 12 y 72 pulgadas para la mayoría de los electrodomésticos. D. Sea “velocidad de calificación” para un auto de carreras que tratan de calificar para Indianápolis 500 una variable aleatoria. Dependiendo de cuán rápido vaya el conductor, las velocidades son aproximadamente 220 y más rápido y se miden en millas por hora. A y B son variables discretas con un posible valor C y D son variables continuas con un número infinito de posibles valores.

Variables aleatorias cont. Variable aleatoria discreta – es una variable aleatoria cuantitativa que puede asumir un # contable de valores. Variable aleatoria continua - es una variable aleatoria cuantitativa que puede asumir un# incontable de valores.

Distribuciones de probabilidad de una variable aleatoria discreta Distribución de probabilidad – es asociada con cada uno de los valores de una variable aleatoria. La distibucción de probabilidad es una distribución teórica; se usa para representar poblaciones. Ejemplo: El que se rueda un solo dado y se observa el número de puntos en la superficie. Tabla 5.1 – Distibución de probabilidad –rodadura de un dado x 1 2 3 4 5 6 P(x) ⅙

Distribuciones de probabilidad de una variable aleatoria discreta Función de probabilidad- regla que asigna probabilidad a los valores de las variables aleatorias. Una función de probabilidad puede ser tan simple como una lista que empareje los valores de una variable aleatoria con sus probabilidades. Ejemplo: Tabla 5-2 – Distribución de probabilidad: lanzamiento de dos monedas x P(x) 0.25 1 0.50 2

Distribuciones de probabilidad de una variable aleatoria discreta Tabla 5.3 – Distribución de probabilidad: rodadura de dado moficado Cada una de las probabilidades pueden representarse mediante el valor de x dividido entre 6; esto es: cada P(x) es igual al valor de x dividido entre 6, donde x=1, 2, o 3. Por tanto P(x) = x 6 para x= 1, 2, 3 x P(x) 1 1/6 2 2/6 3 3/6

Distribuciones de probabilidad de una variable aleatoria discreta Es la fórmula para la función de probabilidad de este experiemento. La función de probabilidad para el experimento de rodar un dado ordinario es P(x) = 1 para x=1, 2, 3, 4, 5, 6 6 Esta función particular se llama función constante porque el valor de P(x) no cambia conforme x cambia.

Media y varianza de una distribución de probabilidad discreta Las distribuciones de probabilidad pueden usarse para representar poblaciones teóricas, la contraparte a las muestras. Los parámetros poblacionales (media, varianza y desviación estándar) se usan para describir dichas distribuciones de probabilidad tal como se usan los estadísticos muestrales para describir muestras. La media de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta, o la media de una variable aleatoria discreta, se encuentra en una forma que saca plena ventaja del formato de tabla de una distribución de probabilidad discreta. La media de una variable aleatoria discreta con frecuencia se como como valor esperado.

Media de una variable aleatoria discreta (valor esperado) Media de una variable aleatoria discreta (valor esperado)- La media μ, de una variable aleatoria discreta x se encuentra al multiplicar cada posible valor de x por su propia probabilidad y luego sumar todos los productos. Media de x: mu = suma de (cada x multiplicada por su propia probabilidad) μ=Σ[xP(x)]

Varianza de una aleatoria discreta La varianza, σ2, de una variable aleatoria discreta x se encuentra al multiplicar cada posible valor de la desviación de la media al cuadrado, (x – μ)2, por su propia probabilidad y luego sumar todos los productos: Varianza: sigma al cuadrado = suma de (desviación al cuadrado por probabilidad) σ2 = Σ[(x – μ)2P(x)]

Desviación estándar de una variable aleatoria discreta Desviación estándar de una variable aleatoria discreta- la raíz cuadrada positiva de la varianza. Desviación estándar: σ= √σ2

Clave de símbolos X, s2 y s se llaman estadísticos muestrales __ 1. X es la media de la muestra 2. s2 y s son la varianza y la desviación estándar de la muestra, respectivamente X, s2 y s se llaman estadísticos muestrales μes la media de la población σ2 es la varianza de la población σ es la desviación estándar de la población μ, σ2 y σ son parámetros poblacionales