Curso Sygma. Grafos Universidad San Buenaventura Cali.

Conexión Caminos: Secuencia de aristas que comienza en un vértice del grafo y recorre ciertas aristas del grafo siempre conectando pares de vértices adyacentes.

Conexión en grafos no dirigidos Se dice que un grafo no dirigido es conexo si hay un camino entre cada par de vértices distintos del grafo.

Conexión en grafos dirigidos Hay dos nociones de conexión en grafos dirigidos, dependiendo de si se considera o no la dirección de las aristas.

Conexión en grafos dirigidos Grafo dirigido fuertemente conexo: Se dice que un grafo dirigido es fuertemente conexo si hay un camino de "a" a "b" y un camino de "b" a "a" para cualesquiera dos vértices a y b del grafo.

Conexión en grafos dirigidos Grafo dirigido débilmente conexo: Se dice que un grafo dirigido es débilmente conexo si hay un camino entre cada dos vértices del grafo no dirigido subyacente.

Caminos e Isomorfismo Hay muchas maneras en las que los caminos y circuitos pueden ayudarnos a determinar si dos grafos son o no isomorfos. Ejemplo: Determine si los grafos G y H son o no isomorfos Solución: Tanto G como H tienen cinco vértices y seis aristas, ambos tienen dos vértices de grado tres y tres vértices de grado dos , y ambos contienen un circuito simple de longitud tres, un circuito simple de longitud cuatro y un circuito simple de longitud cinco .Como todos estos invariantes coinciden G y H son isomorfos.

El número de caminos entre dos vértices El número de caminos que hay entre dos vértices de un grafo se puede determinar usando su matriz de adyacencia.

Ejemplo ¿Cuantos caminos de longitud 4 hay entre a y d en el grafo simple de la siguiente figura?. Por lo tanto el número de caminos de longitud entre a y d es el elemento (1,4) de A4.

Caminos Eulerianos y Hamiltonianos

Caminos eulerianos Definición : Un camino euleriano es un camino simple que contiene a todas las aristas de G. Condición : recorrer cada arista 1 ves inicio Fin

Circuitos eulerianos Definición : Un circuito euleriano de un grafo G es un circuito simple que contiene a todas a las aristas de G. Condición : Cada arista recorre 1 vez. Inicio/fin

Algoritmo Fleury Condiciones Hacer un circuito dentro del grafo. Coger un punto del grafo recorrido que se adyacente a los que quedan y hacer el primer paso. Sustituir el segundo circuito en el punto elegido.

Ejemplo: Paso 1: {1,5,4,3,2,1}

Paso 2: Paso 3: Primer resultado :{1,5,4,3,2,1} Segundo resultado :{5,3,6,5} Sustituir [1,{5,3,6,5},4,3,2,1] Resultado: {5,3,6,5}

Caminos hamiltonianos Condición: Recorrer todos los vértices de un grafo 1 vez y empieza en un vértice inicial y un final que tiene que ser distintos los vértices

Circuitos hamiltonianos Condición :Recorrer todos los vértices 1 ves y empieza en un vértice inicial y final que sean iguales Ejemplo :

Teorema Grafo N vértices N≥2 Suma δ (u) y de δ (v)≥N-1 δ(B)=4 δ(C)=2 δ(D)=4 δ(E)=3 δ(F)=4 Podemos ver que : δ(A)=δ (E) δ(D)=δ (B) δ(A)+δ (C)=3+2=5 δ(A)+δ (D)=3+4=7 δ(A)+δ (B)=3+3=6

Teorema de Dirac Sea G=(V,E) un grafo no dirigido, simple y con al menos 3 vértices,[V]=N≥2Si cada vértice tiene grado mayor o igual n/2, entonces G es hamiltoniano.

Teorema de ore Sea G=(V,E) un grafo no dirigido con al menos 3 vértices,[V]=N≥3Si para cada pareja de vértices no adyacentes x,y se tiene que δ (x)+δ (y)≥n. Entonces el grafo es hamiltoniano.

Caminos de longitud mínima Existen grafos en los que a cada arista se le asigna un valor de peso, se conocen como grafos ponderados.

Algoritmo de Dijkstra Compara detenidamente cada una de las aristas adyacentes a cada vértice, evaluando el camino mas corto.

Problema del viajante Pide determinar el circuito de peso mínimo de un grafo ponderado, se deben visitar todos los vértices una sola vez, y debe regresar al inicio. Beltrán sugiero quitarlo, queda a decisión tuya si deseas explicar dicho problema.

Grafos planos Un grafo es plano si al dibujarse en un plano ningún par de aristas se corta, es decir, no haya intersección entre aristas. Sin embargo, un grafo plano puede tener pares de aristas que se intersectan, luego puede comprobarse si es plano al cambiar los caminos de las aristas.

Fórmula de Euler: r = 6-4+2 r = 2 + 2 r = 4 Un grafo tiene unas caras(regiones) y estas pueden representarse por medio de una fórmula. Cabe aclarar que dicha fórmula solo se realiza para grafos simples y conexos. r = e – v + 2 ; donde r el número de regiones, “e” el número de aristas, y “v” el número de vértices. r = 6-4+2 r = 2 + 2 r = 4

Coloreado de grafos Una coloración de un grafo simple consiste en asignarle un color a cada vértice del grafo de manera que cada 2 vértices adyacentes tenga colores distintos.

Número Cromático El número cromático de un grafo es el número mínimo de colores que se requieren para una coloración del grafo.

Ejemplo ¿Cuál es el número cromático de kn ? Solución : Puede construirse una coloración de Kn con n colores asignando un color distinto a cada vértice. ¿Hay alguna coloración con menos colores? La respuesta es no . No puede asignarse el mismo color a dos vértices distintos, ya que dos vértices cualesquiera de este grafo son siempre adyacentes. Por tanto , el número cromático de Kn es n (recordemos que kn no es el plano para n>=5).

El teorema de los cuatro colores El número cromático de un grafo plano es menor o igual que cuatro. Establece que cualquier mapa geográfico puede ser coloreado con cuatro colores diferentes, de forma que no queden regiones adyacentes con el mismo color. Dos regiones se dicen adyacentes si comparten un segmento de borde en común , no solamente un punto.

Aplicaciones del coloreado de grafos El coloreado de grafos tiene una gran variedad de aplicaciones en problemas relacionados con planificación y asignación.

Ejemplo Supongamos que se quieren programar siete exámenes finales. Supongamos que las asignaturas se numeran del 1 al 7 y que las siguientes parejas de asignaturas tienen alumnos en común 1 y 2 ,1 y 3, 1 y4, 1 y 7, 2 y 3, 2 y 4, 2 y 5, 2 y 7 , 3 y 4, 3 y 6, 3 y 7, 4 y 5 , 4 y 6 , 5 y 6, 5 y 7,6 y 7. 1 2 En la figura 1 se muestra el grafo asociado a este conjunto de asignaturas. Una programación consiste en una coloración de este grafo. Como el numero cromático de este grafo es 4 , se necesitan cuatro segmentos horarios .En la figura 2 se muestra una coloración del grafo con cuatro colores y la programación asociada.

Aplicaciones del coloreado de grafos El coloreado de grafos tiene una gran variedad de aplicaciones en problemas relacionados con planificación y asignación. Ejemplo: En Norteamérica ,los canales de televisión del 2 al 13 se asignan de manera que haya dos estaciones emisoras en un radio de 150 millas que puedan operar en el mismo canal. ¿Como se puede modelar la asignación de canales mediante la coloración de grafos?. Solución: Se debe construir un grafo en el que cada vértice representa a una estación. Dos vértices son adyacentes si las estaciones correspondientes distan menos de 150 millas. Una asignación de canales se corresponde con una coloración del grafo, en la que cada color representa un canal diferente.