Análisis de redes. 3.4 Problema de flujo máximo.

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1 Análisis de redes. 3.4 Problema de flujo máximo.
3.1 Problema de transporte. 3.1.1 Método de la esquina noroeste 3.1.2 Procedimiento de optimización. 322 Problema del camino mas corto. 3.3 Problema del árbol expandido mínimo. 3.4 Problema de flujo máximo. 3.5 Ruta critica ( PERT-CPM). El Método CPM (Critical Path Method), fue desarrollado en 1957 en los Estados Unidos de América, por un centro de investigación de operaciones para las firmas Dupont y Remington Rand, buscando el control y la optimización los costos mediante la planeación y programación adecuadas de las actividades componentes del proyecto. El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son: Este método comienza asignando la cantidad máxima permisible para la oferta y la demanda a la variable X11 (la que está en la esquina noroeste de la tabla). Partiendo de una solución inicial factible (Vogel, Esquina Noroeste, etc.) es necesario probar la optimización de la asignación evaluando todas las celdas no asignadas (vacías) y determinando la conveniencia de asignar en ellas. En la Teoría de grafos, el problema de los caminos más cortos es el problema que consiste en encontrar un camino entre dos vértices (o nodos) de tal manera que la suma de los pesos de las aristas que lo constituyen es mínima. Este problema surge cuando todos los nodos de una red deben conectar entre ellos, sin formar un loop. El árbol de expansión mínima es apropiado para problemas en los cuales la redundancia es expansiva, o el flujo a lo largo de los arcos se considera instantáneo. Se considera el problema de trasladar una cierta mercancía desde un punto específico, llamado fuente a un punto de destino, denominado sumidero. Para ello se considera un grafo dirigido G = (V,A), en el que se consideran dos nodos o vértices: uno denominado nodo fuente y otro denominado nodo destino. Ejemplo: Una compañía tiene 3 almacenes con 15, 25 y 5 artículos disponibles respectivamente. Con estos productos disponibles desea satisfacer la demanda de 4 clientes que requieren 5, 15, 15 y 10 unidades respectivamente. Los costos asociados con el envío de mercancía del almacén al cliente por unidad se dan en la siguiente tabla. En la evaluación de las celdas vacías para un posible mejoramiento, una ruta cerrada (ciclo) es seleccionada. La ruta tiene movimientos horizontales y verticales, considerando que las celdas asignadas y no asignadas pueden ser brincadas en el movimiento para localizar una celda adecuada 1. Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino. 2. El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino. Un ejemplo es encontrar el camino más rápido para ir de una ciudad a otra en un mapa. En este caso, los vértices representan las ciudades, y las aristas las carreteras que las unen, cuya ponderación viene dada por el tiempo que se emplea en atravesarlas. Por supuesto, el grafo estará formado por unos nodos intermedios conocidos como puntos de transbordo a través de los cuales el flujo (la mercancía) es desviado. Sea V = conjunto de todos los vértices o nodos del grafo. fij = el flujo que circula por el arco (i,j). f = cantidad total de flujo que se lleva desde el nodo fuente al nodo destino. kij = capacidad del arco (i,j). A diferencia de la técnica de revisión y evaluación de programas (PERT), el método de la ruta crítica usa tiempos ciertos (reales o determinísticos). Sin embargo, la elaboración de un proyecto basándose en redes CPM y PERT son similares y consisten en: Identificar todas las actividades que involucra el proyecto, lo que significa, determinar relaciones de precedencia, tiempos técnicos para cada una de las actividades. Construir una red con base en nodos y actividades (o arcos, según el método más usado), que implican el proyecto. Analizar los cálculos específicos, Algoritmo Los algoritmos que pueden dar solución a este problema son: Algoritmo de Dijkstra Algoritmo de Kruskal Algoritmo de Prim modelo de transporte es: Minimiza Z= S i=1 m S j=1 n C i j X i j Sujeta a: S j=1 n X i j <= ai , i=1,2,…, m S i=1 m X I j >= bj , j=1,2,…, n X i j >=0 para todas las i y j El esquema siguiente representa el modelo de transporte como una red con m fuentes y n destinos. Ejemplo: s = nodo fuente n = nodo destino 1, 2 = nodos intermedios