U.D. 9 * 2º ESO FIGURAS SEMEJANTES π @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

U.D. 9.2 * 2º ESO TEOREMA DE THALES π @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Teorema de Thales Teorema de Thales Si dos rectas secantes se cortan por dos o más rectas paralelas, los segmentos correspondientes que determinan sobre las rectas secantes son proporcionales. De igual manera los triángulos que se originan son semejantes, pues sus lados son proporcionales y sus ángulos iguales. Los triángulos ROJO, AZUL y CRIS son semejantes. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Teorema de Thales Por el Teorema de Tales: AB BC AC ---- = ---- = ----- = r A’B’ B’C’ A’C’ Los segmentos que determinan las tres rectas paralelas sobre las rectas secantes son proporcionales. En el ejemplo de la figura: 2,5 2,5 5 ----- = ----- = ----- 2 2 4 1,25 = 1,25 = 1,25 A A’ B B’ C C’ @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Triángulos en posición de Tales Triángulos en posición de Thales C = C’ = C” En Tales se originan los siguientes triángulos: ABC , A’B’C’ y A”B”C” Los ángulos correspondientes son iguales: A=A’=A” ; B=B’=B” ; C=C’=C” Y como los lados son proporcionales, podemos concluir que dos o más triángulos en posición de Tales son semejantes. Dos o más triángulos están en posición de Tales cuando tienen un ángulo común (C) y los lados opuestos (AB, A’B’, A”B”) son paralelos. A” B” B’ A’ A B @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Problema_1 Para medir la altura de un edificio hemos empleado el método de la sombra por el Teorema de Tales, utilizando una varilla de 1 m de longitud. Hallar la altura del edificio si sabemos que las sombras de la varilla y del edificio son de 0,5 m y de 8,4 m respectivamente. Como los rayos del sol se consideran paralelos, los dos triángulos rectángulos formados están en posición de Tales y son semejantes: 1 0,5 --- = ------  0,5. h = 8,4  h = 16,8 m h 8,4 h 1 m s S @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Problema_2 Hallar la distancia entre las cúspides de dos edificios para poder construir una pasarela entre ambos. 24 m 24 m 60 m @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Resolución: Lo primero es idealizar el problema: Los triángulos ABC y A’B’C son semejantes por estar en posición de Tales. Conocemos: CA’=60 m, A’ = 24 m, AB = 24 m Deducimos, por si lo necesitamos CA=CA’ – AA’ = 60 – 24 = 36 m Por el Teorema de Tales: CA CB ------ = ------ AA’ BB’ Por Pitágoras: CB = √ (CA2 + AB2) = = √ (362 + 242) = 43,25 m Volviendo al T. de Tales: 36 43,25 ------ = -------- 24 BB’ Operando: BB’ = 28,83 m B’ B 24 m 24 m A’ 60 m A C=C’ @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Teorema de Tales A Si dos rectas secantes (en rojo en la figura) son cortadas por rectas paralelas entre sí (en azul en la figura), los segmentos que determinan en las rectas secantes son proporcionales. Podemos poner: AB’ AC’ B’C’ ----- = ----- = ------ = k AB AC BC Y también: AB” AC” B”C” ----- = ----- = ------ = k’ Los triángulos ABC, AB’C’ y AB”C” son semejantes. B” C” B’ C’ B C @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Ejemplo_1: Sea el triángulo ABC tal que, AB=10, BC=6, CA = 8 Trazamos una recta paralela al lado BC. Los triángulos ABC y AB’C’ son semejantes. Se cumple que: AB’ AC’ B’C’ ----- = ----- = ------ = k AB AC BC 5 4 3 --- = ---- = ---- = 0,5 10 8 6 La razón de semejanza es k=0,5 A B’ C’ B C @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Ejemplo_2: Sean dos triángulos isósceles semejantes, cuyas bases miden 12 y 9 cm. La altura del menor es de 3 cm. Hallar la altura del mayor y la razón de semejanza. Se cumple que: BC AH ----- = ----- = k B’C’ AH’ 12 h --- = ---- = 4/3 , que es la razón. 9 3 h =3.4/3 = 12/3 = 4 m A B’ C’ H’ B H C @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Problema_1 Para medir la altura de un edificio hemos empleado el método de la sombra por el Teorema de Tales, utilizando una varilla de 1 m de longitud. Hallar la altura del edificio si sabemos que las sombras de la varilla y del edificio son de 0,5 m y de 8,4 m respectivamente. Como los rayos del sol se consideran paralelos, los dos triángulos rectángulos formados son semejantes: 1 0,5 --- = ------  0,5. h = 8,4  h = 16,8 m H 8,4 H 1 m @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO s S

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Problema_2 Un arbusto de 1,35 m de longitud proyecta una sombra de 0,85m. Al mismo tiempo la sombra de la iglesia del pueblo mide 25 m. Hallar la altura de la iglesia. Como los rayos del sol se consideran paralelos, los dos triángulos rectángulos formados son semejantes: h s 1,35 0,85 --- = ------  -------- = -------- H S H 25,42 1,35.25,42 = 0,85.H  34,317 = 0,85.H Luego H = 34,317/0,85 = 40,3729 m H=40373 mm con notable precisión. H=? h=1,35 m s=0,85 S=25,42 m @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Aplicación de Thales Dividir un segmento AB en 7 partes iguales. 1.- Se traza una recta desde A con una inclinación cualquiera respecto al segmento AB. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO B A

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Aplicación Dividir un segmento AB en 7 partes iguales. 2.- Sobre dicha recta se llevan siete veces consecutivas una distancia d cualquiera. d d d d d d d @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO B A

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Aplicación Dividir un segmento AB en 7 partes iguales. 3.- Se une el extremo resultante de la recta con el punto B del segmento a dividir. Se trazan paralelas a la línea trazada anteriormente que pasen por las divisiones de la recta. d d d d d d d @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO B A

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Aplicación Dividir un segmento AB en 7 partes iguales. 4.- Los cortes de las paralelas así trazadas con el segmento AB nos determinarán las 7 partes en que queda dividido el segmento AB. d d d d d d d @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO B A

Ejercicios propuestos 1.- Dividir un segmento de 10 cm en tres partes iguales, de modo que cada una sea el doble que la anterior. 2.- Dividir un segmento de 12 cm en tres partes iguales, de modo que cada una sea el triple que la anterior. 3.- Dividir un segmento de 15 cm en cuatro partes iguales, de modo que cada una sea los 3/2 de la anterior. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO