Elementos de algebra lineal Matemáticas Nancy Margarita Gutiérrez Chavira Matricula. 117033 Arquitectura

Vectores

Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector. Módulo Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo. Dirección Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. Sentido Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud. El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

Suma Para sumar dos vectores libres vector “U” y vector “V” se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo de uno coincida con el origen del otro vector.

Regla del paralelogramo Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores. Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

Propiedades de la suma de vectores

Resta Para restar dos vectores libres vector “U” y vector “V” se suma vector “U” con el opuesto de vector “V”. Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

Ejemplo:

Multiplicación La multiplicación de un número “k” por un vector “U "es otro vector: Con igual dirección que el vector “U”. Con el mismo sentido que el vector “U” si “k” es positivo. Con sentido contrario del vector “U” si “k“ es negativo. De módulo

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por el escalar, “k”, por las componentes del vector.

Propiedades de la multiplicación de un vector por un número

Producto punto: El producto punto o producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. Expresión analítica del producto punto Ejemplo Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1).

Expresión analítica del módulo de un vector Hallar el valor del módulo de un vector de coordenadas vector “U” = (−3, 2, 5) en una base ortonormal.

Expresión analítica del ángulo de dos vectores Determinar el ángulo que forman los vectores vector “U” = (1, 2, −3) y “V”= (−2, 4, 1).

Vectores ortogonales Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0. Ejemplo Calcular los valores x e y para que el vector (x, y, 1) sea ortogonal a los vectores (3, 2, 0) y (2, 1, −1).

Propiedades del producto punto

Interpretación geométrica del producto punto El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Proyección vectorial Calcula la magnitud del vector v, suponiendo que quieres calcular la proyección vectorial de un vector u sobre un vector v. Por ejemplo, si u = 2i + j and v = -3i + 4j, la magnitud de v se obtiene de la forma sqrt( (-3)^2 + 4^2) = 5. Calcula el producto escalar de los dos vectores. En este ejemplo sería 2 * -3 + 1 * 4 = -2. Usa la fórmula “projvu = ((u * v) / |v|^2) * v para calcular el vector proyectado. En el ejemplo anterior, el valor final es -2 / 25 * (-3, 4) = (6/25, -8/25) = 6/25i – 8/25j.

Proyección escalar Calcula la magnitud del vector v, suponiendo que quieres calcular la proyección escalar de un vector u sobre un vector v. Siendo u = -3i + 5j y v = -7i –j. La magnitud de v será sqrt((-7)^2 + (-1)^2) = sqrt(50). Calcula el producto escalar de los dos vectores. En este caso, el resultado es (-3) * (-7) + 5 * (-1) = 21 – 5 = 16. Usa la fórmula “sprojvu = (u * v )/ |v| para calcular la proyección escalar del vector u sobre v. Esto da como resultado 16 / sqrt(50) = 8 * sqrt(2) / 5.

Matrices Denominamos matriz de dimensiones m × n a un conjunto de números ordenados en m filas y n columnas. Un vector no es mas que un caso particular de matriz en el que una de sus dimensiones es 1. Denominaremos vector fila a una matriz 1 × n y vector columna A una matriz m × 1.

Para introducir matrices en Octave utilizaremos corchetes (al igual que con vectores), separando las filas por puntos y coma (;) y las columnas de cada fila con espacios (o comas). Las filas también pueden separarse con cambios de línea. A continuación se muestra la definición de una matriz A de dimensiones 3 × 4 de dos formas distintas

Elementos de estadística vistos geométricamente La estadística tiene por objeto el estudio de métodos científicos de organización, presentación y análisis de datos estadísticos (informaciones). Estas informaciones pueden corresponder a un grupo de elementos u objetos o a una muestra de los mismos. Las informaciones (datos) necesarias para la investigación del mercado de un proyecto pueden ser obtenidas de fuentes primarias o secundarias, según provengan de la anotación y observación directa efectuada por parte del investigador o de publicaciones oficiales y entidades que elaboran estadísticas, respectivamente. Según su origen, los datos se clasifican en: Datos primarios Son aquellos que no han sido recopilados anteriormente por parte de organismos que trabajan en la obtención y elaboración de datos y que por consiguiente, son observados y anotados por el investigador de mercados, a partir de las fuentes directas constituidas principalmente por consumidores, comerciantes mayoristas, comerciantes minoristas, importadores, exportadores y productores.

Datos secundarios Son aquellos que ya han sido recopilados y elaborados y que provienen principalmente de publicaciones oficiales o privadas o de entidades que elaboran estadísticas. Las fuentes de las cuales se pueden obtener los datos secundarios son muy variadas, pero pueden agruparse tentativamente en las siguientes: Datos provenientes de las empresas: Esta información puede referirse a aspectos contables; cifras retrospectivas de producción, ventas, precios, etc. Datos de censos Datos de censos de población: Que se utilizan principalmente para los siguientes objetivos: Hacer pronósticos económicos o de ventas Analizar los mercados potenciales Analizar la distribución Ubicar las fábricas Determinar los sitios de venta (observaciones) Determinar las muestras en los estudios de investigación de mercados. Datos de los censos de manufacturas, etc.