Lección 6 : Definiciones y generalidades Fuerzas aplicadas a las vigas. Relación entre ellas Isostatismo e hiperestatismo. Estabilidad Esfuerzo normal, esfuerzo cortante, momento flector. Convenio de signos Diagramas de esfuerzos normales, cortantes y momentos flectores Concepto de deformada o elástica.

6.1.- Definiciones y generalidades Vigas Pilares Cimentación Fibra media Plano medio Prisma elemental Ley de Hooke Pº Saint Venant Hip. Bernouilli Rigidez relativa Pº Superposición No  secciones br

6.2.- Fuerzas aplicadas a las vigas. Relación entre ellas. Cargas Concentradas Repartidas Permanentes Sobrecargas Reacciones

RepresentaciónSímbolo Ecuaciones Existe en el apoyo: M F, N, V Empotramiento No existen:  v,  h,  Articulado fijo** Existe en el apoyo: N, V,  No existen:  v,  h, M F

RepresentaciónSímboloEcuaciones Existe en el apoyo: V,  h,  Articulado móvil No existen:  v, Fh, Mf Articulación intermedia Existen en ella: N, V,  No existen:  v,  h, Mf

DesignaciónSímboloEcuaciones Existe en el apoyo: Rv = -k* , Rh,  No existen:  h, Mf Empotramiento elástico Existen en ella: N, V, M  k  No existen:  v,  h Apoyo elástico

GRADO DE HIPERESTATICIDAD Es la diferencia existente en un sistema entre el número de reacciones incognitas a resolver y la cantidades de ecuaciones del mismo disponibles para su resolución, (ecuaciones de la estática y puntos singulares). El Grado de Hiperestaticidad indica el número de ecuaciones de deformación que es necesario plantear para resolver el sistema. G.H. = Nreacciones – 3 – nº artic.

6.3.- Isostatismo e hiperestatismo. Estabilidad. Resolución de una viga: –hallar las reacciones en los apoyos. –N R = n m + 2·n f + 3·n e –Siendo N R el nº de reacciones a calcular n m el nº de articulaciones móviles n f el nº de articulaciones fijas n e el nº de empotramientos –Si N R es igual a 3 el sistema es isostático

Solicitación Esfuerzo Normal Esfuerzo Cortante Momento Flector Momento Torsor Efecto  Alargamiento  Deslizamiento  Giro de Flexión  Giro de Torsión N V Mf Mt  Esfuerzo normal, esfuerzo cortante, momento flector, momento torsor.

Solicitación Esfuerzo Normal Esfuerzo Cortante Momento Flector Momento Torsor N V Mf Mt Esfuerzo N,V,Mf y Mt. Convenio de signos + ++

6.5.- Diagramas de esfuerzos normales, cortantes y momentos flectores. Los diagramas de esfuerzos son la representación gráfica de los valores (en ordenadas) que tienen a lo largo del prisma mecánico. En ellos se representan los puntos de máximos y por tanto se detectan las secciones en donde se producen para poder proceder a su análisis. El Objetivo es diseñar una estructura que resista el punto donde se produce una mayor Solicitación.

6.5.- Diagramas de esfuerzos normales, cortantes y momentos flectores. Relación entre “q”, “V”, “M f ”: Donde V = 0 => Mf tiene un max.o min. relativo Si V = 0 en un tramo => Mf = Cte. Donde q = 0 => V tiene un max. o min. relativo Si q = 0 en un tramo => V = Cte. El esfuerzo cortante es la pendiente del diagr. Mf. La carga unitaria es la pendiente del diagr. V Si hay una carga concentrada V varía brúscamente Para tener un  brúsca del Mf ha de estar aplicado Mf Se puede estudiar cada carga separadamente (ppº sup)  dx  q Mf + dMfMf V+dV V  Fv = 0 => dV + q·dx = 0 => q = - dV/dx  Mf = 0 => dV·dx - dMf= 0 => V= dMf/dx despreciando – q·d 2 x / 2

6.6.-Concepto de deformada o elástica. Es la forma que adopta la “fibra media una vez sufridas las acciones exteriores y haberse alcanzado el equilibrio elástico. Su ecuación representa la curva que forma, en la cual el M f es la pendiente de la tangente en cada punto. r  dx  dd y r / dx = y / dx·   = y / r  =  ·E = (y / r) ·E  / (y ·E) =  r  dx  dx·    y   r 

M f = E·I z / r M f / E·I z = 1/ r E·I z : Rigidez a Flexión : Oposición que pone el prisma mecánico a deformarse. Es función del Material (E) y de la “forma” de la sección (I z ) Cuanto mayor sea este término mas Momento resiste sin curvarse. M f =  (  ·y·dS) = E/r ·  (y 2 ·dS) = E·I z / r  / (y ·E) =  r

Deformada de un prisma mecánico

Viga apoyada  F H = 0  F V = 0  M A = 0 L /2 A B H A = 0 R A + R B = P 1/2 P·L -R B ·L = 0

Pórtico  F H = 0  F V = 0  M A = 0 H A = 0 R A + R B = P 1/2 P·L -R B ·L = 0 L /2 A B

Resolución de Pórtico D A C B L L I I I P

D A C B L L I I I P  M F = 0  F V = 0  F H = 0 M 1 = H B ·x = 0 0 < x < L M 2 = R B ·x 0 < x < 1/2 L M 3 = R B ·( 1/2 ·L+x) - P·x 0 < x < 1/2 L M 4 = R B ·L - P· 1/2 ·L = 0 0 < x < L x x x x RBRB RARA HAHA P = R A + R B R A = ½·P R B = ½·P H A = 0

+ - L /2 A B N 1 = R B D C L L P - - M 3 = R B ·( 1/2 ·L+x) - P·x V 1 = 0 Sección 1 => x = 0 en B M 1 = 0 N 2 = 0 V 2 = - R B Sección 2 => x = 0 en D M 2 = R B · x N 3 = 0 V 3 = P - R B Sección 3 => x = 0 en E N 4 = R A V 4 = H A = 0 Sección 4 => x = 0 en A M 4 = H A · x= 0 R A = ½·P R B = ½·P H A = 0 L > x > 0 ½·L > x > 0 L > x > 0