Bioestadística Distribuciones de probabilidad: la distribución normal

Distribución de probabilidad n Es toda tabla, gráfica, fórmula o cualquier otro medio que se use para especificar todos los valores posibles de una variable aleatoria discreta junto con sus probabilidades respectivas. n Una fórmula que se emplee para calcular P(X = x) se denomina función de probabilidad y se denota por f(x). Es decir f(x) = P(X = x)

Distribución de probabilidad n Es toda tabla, gráfica, fórmula o cualquier otro medio que se use para especificar todos los valores posibles de una variable aleatoria discreta junto con sus probabilidades respectivas. n Una fórmula que se emplee para calcular P(X = x) se denomina función de probabilidad y se denota por f(x). Es decir f(x) = P(X = x)

Distribución de probabilidad n Características necesarias para una distribución de probabilidades: P(X = x) > 0 para todo valor de x.  para toda x P(X = x) = 1. n La probabilidad de que la variable aleatoria X asuma valores menores o iguales a x se llama función de distribución acumulada de x y se denota por F(x) F(x) = P(X  x)

Distribución de probabilidad n Características necesarias para una distribución de probabilidades: P(X = x) > 0 para todo valor de x.  para toda x P(X = x) = 1. n La probabilidad de que la variable aleatoria X asuma valores menores o iguales a x se llama función de distribución acumulada de x y se denota por F(x) F(x) = P(X  x)

Distribución de probabilidad n Para calcular la probabilidad de que X sea menor o igual a un valor determinado, a por ejemplo, nos valemos de

Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a a a a a a a a a f(x) = Función de probabilidad. F(x) = Función de probabilidad acumulada.

Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a a a a a a a a a Pregunta: P(X ≥ 125, y, X ≤ 130)

Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a a a a a a a a a Respuesta: P(X ≥ 125, y, X ≤ 130) = 0.22

Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a a a a a a a a a Pregunta: P(X ≥ 143, y, X ≤ 148)

Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a a a a a a a a a Respuesta: P(X ≥ 143, y, X ≤ 148) = 0.09

Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a a a a a a a a a Pregunta: P(X ≤ 124)

Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a a a a a a a a a Respuesta: P(X ≤ 124) = 0.30

Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a a a a a a a a a Pregunta: P(X < 143)

Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a a a a a a a a a Respuesta: P(X < 143) = 0.88

Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a a a a a a a a a Pregunta: P(X > 130)

Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a a a a a a a a a Respuesta: P(X > 130) = 1.00 – 0.52 = 0.48

Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a a a a a a a a a Pregunta: P(X ≥ 143)

Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a a a a a a a a a Respuesta: P(X ≥ 143) = 1.00 – 0.88 = 0.12

Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a a a a a a a a a Pregunta: P(X ≥ 119, y, X ≤ 148)

Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a a a a a a a a a Respuesta: P(X ≥ 119, y, X ≤ 148) = 0.97 – 0.09 = 0.88

Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a a a a a a a a a Pregunta: P(X > 124, y, X < 143)

Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a a a a a a a a a Respuesta: P(X > 124, y, X < 143) = 0.88 – 0.30 = 0.58

Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a a a a a a a a a Pregunta: P(X 148)

Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a a a a a a a a a Respuesta: P(X 148) = 1.00 – ( ) = 0.12

Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a a a a a a a a a Pregunta: P(X ≤ 124, o, X ≥ 143)

Distribución de probabilidad Intervalo de claseFrecuencia absolutaf(x)F(x) 107 a a a a a a a a a Respuesta: P(X ≤ 124, o, X ≥ 143) = 1.00 – (0.88 – 0.30) = 0.42

Distribución de probabilidad: f(x)

Distribución de probabilidad: F(x)

Distribución normal También conocida como “campana de Gauss”. El primero en presentarla fue Abraham de Moivre, en Pierre-Simon Laplace la utilizó en Johann Carl Friedrich Gauss la utilizó profusamente desde El nombre de campana (bell surface) se lo puso Esprint Jouffret en 1872.

Distribución normal 1.- El área total que se encuentra por debajo de la curva de la campana y por encima del eje horizontal es igual a 1.

Distribución normal 2.- Cuando la variable es discreta, la media, la mediana y la moda son iguales.

Distribución normal 3.- Su distribución es simétrica y la media la divide en dos partes iguales: 50% a la derecha, 50% a la izquierda.

Distribución normal 4.- Cuando en el eje horizontal trazamos una perpendicular, que llegue hasta donde la curva cambia de cóncava a convexa, la distancia desde la media hasta la perpendicular es igual a la desviación estándar.

Distribución normal

5.- Existe una distribución diferente para cada valor de μ y de .

Distribución normal 6.- La curva teórica de una distribución normal va de –∞ hasta +∞.

Cálculo de probabilidades n Cuando una población está distribuida normalmente podemos calcular la probabilidad de que una variable aleatoria, con media  y desviación estándar , asuma valores comprendidos entre x a y x b. n Para obtener dichas probabilidades, transformamos la variable X, con media  y varianza  2, en la variable normal estandarizada, z, con media 0 y varianza 1, por medio de la fórmula

Cálculo de probabilidades n Cuando una población está distribuida normalmente podemos calcular la probabilidad de que una variable aleatoria, con media  y desviación estándar , asuma valores comprendidos entre x a y x b. n Para obtener dichas probabilidades, transformamos la variable X, con media  y varianza  2, en la variable normal estandarizada, z, con media 0 y varianza 1, por medio de la fórmula

Cálculo de probabilidades: ejemplo. n Asumamos que el peso al nacer se distribuye según la campana de Gauss, con un promedio poblacional, µ, de 3,000 g, y una desviación estándar poblacional, σ, de 500 g. n Pregunta: cuál es la probabilidad de que el próximo niño en nacer tenga un peso > 2,500 g. n Para calcular P(X > 2,500 g) en un universo donde µ = 3,000 g y σ = 500 g, procedemos de la siguiente manera.

Cálculo de probabilidades: ejemplo. n Asumamos que el peso al nacer se distribuye según la campana de Gauss, con un promedio poblacional, µ, de 3,000 g, y una desviación estándar poblacional, σ, de 500 g. n Pregunta: cuál es la probabilidad de que el próximo niño en nacer tenga un peso > 2,500 g. n Para calcular P(X > 2,500 g) en un universo donde µ = 3,000 g y σ = 500 g, procedemos de la siguiente manera.

Cálculo de probabilidades: ejemplo. n Asumamos que el peso al nacer se distribuye según la campana de Gauss, con un promedio poblacional, µ, de 3,000 g, y una desviación estándar poblacional, σ, de 500 g. n Pregunta: cuál es la probabilidad de que el próximo niño en nacer tenga un peso > 2,500 g. n Para calcular P(X > 2,500 g) en un universo donde µ = 3,000 g y σ = 500 g, procedemos de la siguiente manera.

Cálculo de probabilidades: ejemplo. 1.- Trazamos un figura que represente la campana de Gauss, con una línea horizontal en la base y otra línea que represente la media poblacional Conviene anotar el valor de la media poblacional. P(X > 2,500 g) µ = 3,000 g σ = 500 g

Cálculo de probabilidades: ejemplo. 2.- Trazamos una línea perpendicular a la base que definirá el área de interés. 3.- Sombreamos el área de interés. En este ejemplo, valores que sean mayores a 2,500 g. P(X > 2,500 g) µ = 3,000 g σ = 500 g

Cálculo de probabilidades: ejemplo. 4.- Transformamos la variable peso al nacer (X), con µ = 3,000 g y σ = 500 g, en la variable normal estandarizada, z, con µ = 0 y σ = 1, por medio de la fórmula P(X > 2,500 g) µ = 3,000 g σ = 500 g

Cálculo de probabilidades: ejemplo. 4.- Transformamos la variable peso al nacer (X), con µ = 3,000 g y σ = 500 g, en la variable normal estandarizada, z, con µ = 0 y σ = 1, por medio de la fórmula P(X > 2,500 g) µ = 3,000 g σ = 500 g

Cálculo de probabilidades: ejemplo. 5.- Buscamos el área de la curva normal que corresponde al espacio de Z = 0 a Z = -1 P(X > 2,500 g) µ = 3,000 g σ = 500 g

Cálculo de probabilidades: ejemplo. 6.- Terminamos sumando las áreas de interés. P(X > 2,500 g) = = 0.84 P(X > 2,500 g) µ = 3,000 g σ = 500 g

Cálculo de probabilidades: ejercicio. P(X > 3,750 g) µ = 3,000 g σ = 500 g

Cálculo de probabilidades: ejercicio. P(X > 3,750 g) µ = 3,000 g σ = 500 g P(X > 3,750 g) = 0.07

Cálculo de probabilidades: ejemplo. P(X > 2,325 g, y X < 3,755 g) µ = 3,000 g σ = 500 g

Cálculo de probabilidades: ejemplo. P(X > 2,325 g, y X < 3,755 g) µ = 3,000 g σ = 500 g

Cálculo de probabilidades: ejemplo. P(X > 2,325 g, y X < 3,755 g) µ = 3,000 g σ = 500 g

Cálculo de probabilidades: ejemplo. P(X > 2,325 g, y X < 3,755 g) µ = 3,000 g σ = 500 g

Cálculo de probabilidades: ejemplo. P(X > 2,325 g, y X < 3,755 g) µ = 3,000 g σ = 500 g P(X > 2,325 g, y X < 3,755 g) = = 0.84

Cálculo de probabilidades: ejercicio. P(X 4,125 g) µ = 3,000 g σ = 500 g

Cálculo de probabilidades: ejercicio. P(X 4,125 g) µ = 3,000 g σ = 500 g P(X > 1,250 g, y X < 4,125 g) = = 0.08