@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT1 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES U.D. 7 * 1º BCT

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO U.D. 7.4 * 1º BCT

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT3 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO LIMITE de una función f en un punto x = a, cuando x tiende a a es el valor al que se aproximan las imágenes de la función cuando x se aproxima al valor a, tanto por su derecha como por su izquierda. lím f(x) = b x  a Nota: Aunque pueden coincidir, en general los números lim f(x) y f(a) no están relacionados entre sí. x  a EJEMPLO: lím x 2 = 2 2 = 4 x  2 Sucesión de x : 1’9, 1’99, 1’999, … Sucesión de las correspondientes imágenes: 3’96, 3’98, 3’99, …

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT4 LÍMITES LATERALES EN UN PUNTO En un límite vemos que x puede tender al valor de “a” tomando valores tanto por su derecha como por su izquierda. Por ejemplo, puede tender a 2 tomando las siguientes sucesiones de números: 2’1, 2’01, 2’001,2’0001, 2’00001, … 1’9, 1’99, 1’999, 1’9999, 1’99999, … Se hace preciso distinguir ambos límites. L IMITE POR LA DERECHA lím f(x) = L 1 x  a+ LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = L 2 x  a -- U na función f tiene límite en un punto a si sus límites laterales en dicho punto existen y coinciden. Entonces L 1 = L 2 = b

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT5 Ejemplo_1 En la gráfica de la función vemos que: LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = 7 x  2 + LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = 5 x  x 7575 Ejemplo_2 En la gráfica de la función vemos que: LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = 1 x  0 + LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = 0 x  x y1y1

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT6 Ejemplo_3 Según la gráfica vemos que: LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = 1 x  1 + LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = 1 x  1 - En este caso: lím f(x) = 1 x  x y1y x y3y3 Ejemplo_4 Según la gráfica vemos que: LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = 3 x  5 + LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = 3 x  5 - En este caso: lím f(x) = 3 x  5

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT7 Ejemplo_5 x – 4 Lím x  1 x – 2 xy ,99 2,9802 0,9992, ? 1,0013,0020 1,013,0202 1,13,2020 Como se puede intuir, el límite de la función cuando x  1 es 3 Ejemplo_6 x – 3 Lím x  3 x 2 – 9 xy ,99 0,1669 2,9990,1667 2,99990, ? 3,00010,1666 3,0010,1667 Como se puede intuir, el límite de la función cuando x  3 es 1/6

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT8 El límite de una función f, cuando x tiende a ± oo, es L si para cualquier sucesión de valores de x que tienda a oo, el límite de la sucesión de las correspondientes imágenes es L. lím f(x) = L 1 lím f(x) = L 2 x  +oo x  –oo En caso de existir límite en el infinito decimos que f presenta una asíntota horizontal. (O dos, si L 1 es distinto de L 2 ) Ejemplo f(x) = x / (x – 3) Para x = 1000  y = 1000/997 = 1,003 Para x=10000  y = 10000/9997 = 1,0003 Para x =  y = 1,00003 Está claro que por mucho que aumente la variable x, el valor de y cambia muy poco y además se acerca a y=1, aunque nunca llega. LIMITES EN EL INFINITO

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT9 Otro ejemplo y = x / (x 2 – 4) Para x = 1000  y = 1000/ = 0,001 Para x=10000  y = 10000/ = 0,0001 Para x =  y = 0,00001 Para x =  y = 0, Está ya claro que: Lím f(x) = 0 x  +oo Si x toma valores negativos muy grandes, el valor de f(x) seguirá una sucesión de valores idéntica, aunque ahora negativos. Lím f(x) = 0 x  – oo La función presenta una recta asíntota horizontal que es y = 0. Si los dos límites hallados fueran de distinto valor, la función tendría dos asíntotas horizontales: y = L 1 e y = L 2

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT10 Ejemplo gráfico L2L2 L1L1 0 Y X Lim f(x) = L 2 x  -oo Lim f(x) = L 1 x  +oo

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT11 LIMITES INFINITOS Si a es un número real, lím f(x) = +oo significa que cuando x tome valores x  a muy próximos a a, a ambos lados, los correspondientes valores de f se harán arbitrariamente grandes. De forma análoga se define lím f(x) = –oo. x  a Si a es un número real, lím f(x) = +oo significa que cuando x tome valores x  a+ muy próximos a a, pero mayores que a, los correspondientes valores de f se harán arbitrariamente grandes. De forma análoga se define lím f(x) = –oo. x  a+ Y también lím f(x) = +oo o lím f(x) = –oo. x  a- x  a- LIMITES INFINITOS

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT12 Ejemplo 1 Si representamos la función: x 3 f(x)= = x – 3 x – 3 Hipérbola de centro (3, 1) Vemos que en x=3 la función no existe. Sin embargo existe en las proximidades de x=3, donde la gráfica tiende a juntarse con una recta vertical. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto x o =3. Sin embargo, a la hora de dibujar la función, no es lo mismo el trazo a la derecha que a la izquierda de x o =3 LIMITES INFINITOS EN UN PUNTO 0 3 x Y1Y1

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT13 Para ver cómo se comporta la función en las proximidades de x=3 habrá que calcular sus límites laterales: Límite por la derecha: x 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = + oo x  3 + x pues x vale algo más de 3. Límite por la izquierda: x 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = - oo x  3 - x pues x vale algo menos de 3. Los límites laterales nos ayudan a definir la tendencia de una función en determinados puntos críticos. 0 3 x Y1Y1

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT14 Ejemplo 2 Si representamos la función: – 2.x 6 f(x)= = – x + 3 x – (– 3) Hipérbola de centro ( – 3, – 2) Vemos que en x= - 3 la función no existe. Sin embargo existe en las proximidades de x=3, donde la gráfica tiende a juntarse con una recta vertical. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto x o = - 3. Sin embargo, a la hora de dibujar la función, no es lo mismo el trazo a la derecha que a la izquierda de x o = x Y -2

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT15 Para ver cómo se comporta la función en las proximidades de x=3 habrá que calcular sus límites laterales: Límite por la derecha: -2.x 6 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = + oo x  -3 + x pues x vale algo más de - 3. Límite por la izquierda: -2.x 6 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = - oo x  -3 - x pues x vale algo menos de - 3. Los límites laterales nos ayudan a definir la tendencia de una función en determinados puntos críticos x Y -2

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT16 Ejemplo 3 Queremos representar la función: f(x) = x / ( x 2 - 4) Vemos que cuando x vale 2 ó -2, el valor de y es +/- 2 / 0 La función no existe en x=2 ni en x=-2 Sin embargo sí existe en las proximidades de dichos valores de x. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto x 1 = 2 y otra en x 2 = - 2. Veamos su comportamiento en x = 2 x 2 lím ‑ -- ‑‑‑‑‑‑‑ = = + oo x  2+ x pues x vale algo más de 2 y x 2 > 4 x 2 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = - oo x  2- x pues x vale algo menos de 2 y x 2 < x Y

@ Angel Prieto BenitoApuntes 1º Bachillerato CT17 Teníamos f(x) = x / ( x 2 - 4) Veamos ahora su comportamiento en x = - 2 x - 2 lím ‑ -- ‑‑‑‑‑‑‑ = = + oo x  - 2+ x pues x vale algo más de – 2 y por tanto x 2 < 4 x - 2 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = - oo x  - 2- x pues x vale algo menos de – 2 y por tanto x 2 > x Y Los límites laterales nos ayudan a definir la tendencia de una función en determinados puntos críticos.