ECUACIONES DE 2º GRADO
Ecuaciones de 2º grado : ¿Cuáles son? Son igualdades de la forma con a, b, c números reales y siempre ¿dónde queda reflejado que es una ecuación de segundo grado?
Resolución o cálculo de las SOLUCIONES o RAÍCES o CEROS de una ecuación de 2º grado. RESOLVER una ecuación consiste en buscar los valores concretos de x para los cuales se verifica la ecuación. A estos valores que al sustituirlos en la incógnita x, la verifican se les llama CEROS, SOLUCIONES o RAÍCES de la ecuación. Es conveniente, para ganar tiempo, tener en cuenta los siguientes casos particulares :
Distinguimos tres casos: 1.) Si en la ecuación general, tenemos c = 0 , es decir, no hay término independiente , resulta la ecuación de segundo grado : Pasos: - Siempre podremos sacar factor común, al menos , de x - recordando que en el producto de números reales, para que el resultado de un producto sea cero, siempre uno de los factores debe ser cero, tenemos que :
x =0 ax+b=0 ax =-b x = -b/a NO te aprendas estos resultados con letras, es inútil; reserva la memoria para casos que de verdad lo requieran; entiende los pasos dados y aplícalos en cada caso concreto.
Ejemplos, ahora te toca a ti : Recuerda: saca factor común de todo lo que puedas haz cero cada uno de los factores que has obtenido Soluciones : x = 0 y x = 4. Más ejemplos: Observa que en estos casos, siempre una solución sale x = 0. Piensa ¿porqué?
2.) Si b = 0, tenemos la ecuación de segundo grado: Este también, es un caso especial, que se puede tratar más cómodamente, sin aplicar la fórmula. Despeja ¿Cómo quito el cuadrado del exponente? Extrayendo la raíz cuadrada, resultando : No te aprendas el resultado , tienes que saber obtener la solución, sin memorizar la fórmula.
Ejemplos, resuelve tú estos casos: : ¿Todas tienen solución? 3.) Estudiemos ya el caso general, de la resolución de una ecuación completa de segundo grado. Si tenemos una ecuación de segundo grado completa : las soluciones se obtienen del cálculo :
Estas fórmulas SI te las tienes que aprender de memoria. Ejemplos: Recuerda a = 2 b = 3 c = 1. Las soluciones salen : x = -1 Recuerda a = 3 b = -2 c = -8. Las soluciones salen : x = 2 ¿Te has preguntado alguna vez, de donde pueden salir estas fórmulas de resolución de la ecuación de segundo grado? Pues si tienes curiosidad, aquí tienes la explicación.
Empezamos paso a paso, pero ten presente lo que buscamos. Antes de empezar es bueno que sepas cual es la idea, para obtener el valor de x. Como se trata de despejar x, lo primero que tenemos que conseguir es tener una sola x, para lo cual tendremos que escribir la ecuación como un binomio al cuadrado y luego despejar la x. Empezamos paso a paso, pero ten presente lo que buscamos.
Pasamos el término independiente (sin x ) al otro lado. Multiplicamos los dos miembros por 4a Sumamos a ambos miembros de la igualdad Expresamos el primer miembro como un binomio al cuadrado Extraemos la raíz cuadrada de los dos miembros f) Despejamos x :
Comprueba que efectivamente nos salen dos soluciones. ¿Dónde están?
Una ecuación de segundo grado puede tener : DISCUSIÓN DEL NÚMERO DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO ¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación de 2º grado? Dedúcelo, resolviendo : Una ecuación de segundo grado puede tener : dos soluciones reales distintas una solución real doble ( un mismo valor repetido dos veces) ninguna solución real (es decir, no nos sale ningún valor real)
¿De qué crees que depende que estemos en un caso u otro? Si dispones de un minuto, piensa ....., si no pasa al párrafo siguiente donde te ayudaré a descubrirlo. Para ello tenemos que definir lo que es EL DISCRIMINANTE. El discriminante es el número que está dentro de la raíz: D = b – 4ac Si D > 0, entonces existen dos soluciones Si D < 0, no existen soluciones Si D =0, solo existe una solución, que se dice doble. Aplícalo a: