ANALISIS MATEMATICO PARA ECONOMISTAS Cálculo de áreas: Integral definida

Área de rectángulos Considere las funciones continuas f(x) = 3 y f(x) = m, en el intervalo [0, x]. (m > 0) f(x) = m 0 x f(x) = 3 0 x m 3 R R El área del rectángulo determinado por f(x) = 3, El área del rectángulo determinado por f(x) = m, es: A = 3x es: A = mx Note que: A´= 3 A´= m

Área de triángulos Considere ahora las funciones continuas f(x) = 3x y f(x) = mx, en el intervalo [0, x]. (m > 0) f(x) = 3x f(x) = mx 0 x 0 x R R x 3x x mx Área A = = Área A = = 2 2 Note que: A´= 3x A´= mx

Área del trapecio Considere ahora la función continua f(x) = mx + b en [0, x]. f(x) = mx + b se puede dividir en dos partes: El área A del trapecio 0 x mx área del = x b b R x mx área del = = 2 bx Por lo tanto A = + Note que: A´= mx + b

Para cada f(x) observe la función área A(x) f(x) = b f(x) = 3x f(x) = mx f(x) = mx + b A(x) = 3x A´(x) = 3 A(x) = bx A´(x) = b Se puede conjeturar que A(x) es una antiderivada de f(x).

Observación Sea f una función continua no negativa en [0, b] y A(x) el área de la región entre la gráfica de f y el eje X en [0, x] con x < b. Entonces, A´(x) = f(x) 0 x Es decir, A(x) es antiderivada de f A(x) = F(x) + C

Definición A = A(b) – A(a) El área de una región podrá plantearse por una integral definida: A = A(b) – A(a) Siempre que f sea continua en [a; b] y positiva en ese intervalo.

Hallar el área bajo la gráfica de en el intervalo En este caso Calculamos una antiderivada de Se reemplaza los valores de a y b en F(x) y luego restamos dichos valores

Calcular el área bajo la curva y=2x en

Definición Si la función f(x) es continua en el intervalo a ≤ x ≤ b, entonces donde F(x) es cualquier antiderivada de f(x)

Ejercicios Calcular

Ejercicio 1 Halle el área de la región R acotada por la gráfica de y el eje X. Solución:

Área entre dos curvas Sean las gráficas de f y g tales que f(x) > g(x) en un intervalo [a; b]. El área de la región limitada por las gráficas de f y g y por las verticales x = a y x = b será... a b

Ejercicio 2 Halle el área de la región acotada por y el eje X. Solución:

Ejercicio 3: Halle el área de la región acotada por las curvas y Solución:

Ejercicio 4: Halle el área de la región acotada por la recta y la curva Solución:

Ejercicio 5: Halle el área de la región acotada por y = x3 - 3x2 y por y = x2 + 5x Solución: