21 Sesión Contenidos: Integrales Definición y análisis. Profesor: Víctor Manuel Reyes F. Asignatura: Matemática para Ciencias de la Salud (MAT-011) Segundo Semestre 2012

Aprendizajes esperados: Interpretar el concepto de la Integral. Calcular la integral de funciones específicas.

Introducción La superficie de un rectángulo tiene superficie: Base x altura. Como calculamos la superficie de las siguientes áreas?

Introducción El significado geométrico de la derivada de una función en un punto x = a, es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto del plano (a; f(a)).

Introducción El significado geométrico de la integral de una función f(x), en un intervalo [a,b] es: El área sombreada está marcada por los bordes x = a, x = b, el eje equis y la curva de la función f(x) de equis

Introducción Supongamos que f(x) = 5 ( Recta constante = 5 ). La Integral entre a = 1 y b = 4 quedaría: Se escribiría y se lee: “la integral entre 1 y 4 de la función f(x)=5”

Introducción En este caso el área de la región sombreada es un rectángulo de base 3 y altura 5

Introducción

Integral indefinida g’(x) = f(x) (x2)’ = 2x g’(x) f(x) = Dada una función f(x) vamos a llamar primitiva de f(x) a cualquier función g(x) con la siguiente propiedad: g’(x) = f(x) Es decir que si derivamos la g(x), obtenemos la función original f(x). Ejemplo: Dado: f(x) = 2 x → Una primitiva de f es g(x) = x2 porque (x2)’ = 2x g’(x) f(x) =

Integral indefinida Buscar una primitiva de una función f(x) es lo contrario que derivar Entonces buscar una primitiva de una función f(x) es buscar otra función g(x) tal que si la derivo obtengo la original f(x): g’(x) = f(x)

Integral indefinida ¿Qué pasa si alguien nos dice que g(x) = x2 + 12 es una primitiva de f(x) = 2x ? ¿Tiene o no razón? Veamos: g(x) es primitiva de f(x) ⇔ g'(x) = f(x) x2 + 12 es primitiva de 2x ⇔ (x2 + 12)' = 2x 2x + 0 = 2x ¿Y si nos dice que x2 + 7 es una primitiva de 2x? Se puede verificar, derivando (x2+7) que también cumple.

Integral indefinida Cada función f(x) que nos den tiene infinitas primitivas, tantas como constantes diferentes se nos ocurra sumarles

Integral indefinida Para abarcar todas esas respuestas podemos poner una constante C que se llama constante de integración. Primitivas de f(x) = 2x son g(x) = x2 + C Con C Є IR

Integral indefinida Tengo g’(x) = 3 y busco una g(x) tal que su derivada sea g’(x) = 3, busco una primitiva de “3”, una antiderivada.

Integral indefinida ¿Cuál es la función g(x) tal que su derivada es g’(x) = x2 ? Y como sumando cualquier constante sigue valiendo → primitivas de g’(x) = x2 son g(x) = 1/3∙x3 + C

Integral indefinida de una función ∫ f(x) dx= g(x) si ocurre que g’(x)= f(x) Y se lee: “La integral de f(x) es g(x)”. O sea, integrar f(x) es hallar una g(x) tal que g’(x) = f(x) Son todas la misma frase

Integral indefinida de una función Calcular las siguientes integrales La integral de x2 es 1/3x3 + C porque si derivo esta respuesta, obtengo la x2 original” como cuando buscábamos primitivas… Ya que “integrar” es buscar primitivas.

Integral indefinida de una función

∫ f(x) ± g(x) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx Propiedades ∫ f(x) ± g(x) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx Propiedad a) suma suma O sea, la integral de una es la de las integrales resta resta Ejemplo ∫2x + x5 dx = ∫2x dx + ∫x5 dx = x2 + C1 + 1/6x6 + C2 = x2 + 1/6x6 + C

∫ k∙g(x) dx = k∙ ∫ f(x) dx Propiedades ∫3x dx = Propiedad b) O sea, vale “apartar” las constantes que multiplican. Ejemplo ∫3x dx = 3∫x dx = 3∙ 1/2x2 + C

Aplicación de propiedades Calcular la integral si se deriva el resultado te dará la función original

Integrales inmediatas Con todo lo visto hasta ahora podemos construirnos la siguiente tabla de integrales (o primitivas, o antiderivadas)