Funciones reales de variable real x f(x) x y = f(x) José Manuel Reyes Brito I.E.S. ‘Albert Einstein’ Sevilla

Elementos básicos en el estudio de una función. DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA RECORRIDO o IMAGEN GRÁFICA o GRAFO

DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA Df = {x  / f(x)  } Es el conjunto de valores que puede tomar x, de manera que f(x) sea un número real: Valores para los que se puede calcular f(x)

RECORRIDO o IMAGEN Rf = {y  / y = f(x), x  Df} Es el conjunto de valores que puede tomar y, como transformados mediante f(x) de los valores del dominio.

GRÁFICA o GRAFO {(x, y)  2/ x  Df, y  Rf} Es el conjunto de puntos del plano de manera que la segunda coordenada sea transformada de la primera mediante f(x). Representados estos puntos en un sistema de ejes cartesianos, nos proporcionarán información gráfica de la función.

Clasificación de las funciones de variable real F. Lineal: y = mx + n F. Cuadrática: y = ax2+bx+c Otras funciones polinómicas Enteras o Polinómicas ALGEBRAICAS Pn(x) Qm(x) Racionales fraccionarias Irracionales o radicales: x aparece bajo una raíz Se comenta la clasificación general de las funciones reales de variable real en dos grandes grupos: algebraicas y trascendentes. Posteriormente se estudiarán los ejemplos más significativos de cada uno de los distintos tipos de funciones, insistiendo en que las funciones lineales y cuadráticas “hay que dominarlas”. Exponencial Logarítmica Trigonométricas ··· ··· ··· TRASCENDENTES

Funciones Lineales: y = mx + n Funciones algebraicas enteras o polinómicas

Todas las funciones polinómicas tienen dominio 2ª) y = x + 3 1ª) y = x 3ª) y = x - 2 Comenzamos mostrando los casos más sencillos de funciones lineales, empezando por y = x, y añadiendo ordenadas en el origen distintas. Se pretende hacer observar el efecto de desplazamiento lateral que produce la transformación f(x+c), a la izquierda si c>0 y a la derecha si c<0. En este caso concreto también puede interpretarse como desplazamiento vertical: f(x) + c. Hacia arriba si c>0 y hacia abajo si c<0

D f = 1ª) y = 2x +1 2ª) y = 5x +1 3ª) y = (1/3)x +1 Se muestran tres ejemplos manteniendo la misma ordenada en el origen y cambiando los valores de las pendientes para llamar la atención sobre el papel de la ordenada en el origen: Lo que no cambia en la ecuación (n = 1), permanece fijo en la gráfica: Todas pasan por (0, 1) A mayor pendiente, mayor ángulo con la horizontal Ordenada en el origen no cambia

D f = 1ª) y = -3x + 1 2ª) y = -3x + 5 3ª) y = -3x + 2 Se mantiene ahora fija la pendiente y se va cambiando la ordenada en el origen. Al mismo tiempo que se destaca el papel de cada uno de los coeficientes, ahora hemos tomado una pendiente negativa para recalcar el efecto de dicho valor en contraste con los ejemplos anteriores Igual pendiente: paralelas Obsérvese el efecto de la ordenada en el origen

D f = R f =  R f = RESUMEN: Funciones lineales: y = mx + n Gráfica: RECTA R f =  R f = R f = Se muestra el resumen general: Todas las funciones lineales tienen dominio y recorrido , y su gráfica es una recta. Se hace resaltar que el dominio se puede observar mediante la proyección de la gráfica sobre el eje horizontal y el recorrido la proyección sobre el eje vertical Destacar el caso en que la pendiente es 0, en que el recorrido es {n} D f = R f = {-2} ¡Ojo! Si m=0, R f = {n}

Ejemplos de aplicaciones de la función lineal: A) Movimiento uniforme: e = e0 + vt B) 2ª Ley de Newton: F = ma (m constante) C) Dilatación: L = L0(1 + kt) D) Potencia de un salto de agua: P = Caudal·Altura E) Ley de Ohm: V = IR F) Cambio de escala termométrica: C = 5/9·(F-32)

Funciones cuadráticas y = ax2 + bx + c Funciones algebraicas enteras o polinómicas

Como todas las funciones polinómicas D f = Ahora observamos la gráfica con toda su significación Las claves están en los siguientes elementos: Apreciamos un aspecto de la gráfica que no es significativo y que puede llamar a confusiones Cambiamos el rango de representación y observamos las variaciones que se producen Cortes con el eje OX Vértice

Funciones cuadráticas D f = y = ax2 + bx + c Es aconsejable seguir las siguientes pautas en el estudio de una función cuadrática: 1. Hallar los puntos de corte con el eje OX ax2 + bx + c = 0  x1 y x2  (x1, 0) y (x2, 0) 2. Hallar las coordenadas del vértice V(xv, yv) 3. Completar, si es necesario, con una tabla Sólo 1 ó 2 valores. (Corte con el eje OY)

Ejemplos de funciones cuadráticas D f = 1) y = x2 -8x - 9 R f = [-25, +) Vértice (4, -25)

Ejemplos de funciones cuadráticas D f = Tres parábolas que cortan en los mismos puntos al eje OX Obsérvense los coeficientes de x2 V(2, -9) R f = [-9, +) V(2, -5) R f = [-5, +) V(2, -20) R f = [-20, +)

Ejemplos de funciones cuadráticas D f = y = x2 - 3x + 2 y = 3x2 + 2x +1 y = 20x2 - 20x + 5

Rf = (-∞, yv] Ejemplos de funciones cuadráticas D f = Si el coeficiente del término de mayor grado es negativo, las ramas infinitas de la parábola se dirigen hacia abajo: y = - 3x2 – x + 2 ¡Ojo! En este caso: Rf = (-∞, yv] y = - x2 + 7x - 10 y = - 3x2 + x - 2

Ejemplos de aplicaciones de la función cuadrática: A) Movimiento uniformemente acelerado s = s0 + v0t + ½·at2 B) Teorema de Torricelli v2 = 2gh

Funciones polinómicas Grado >2 D f =

Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d y = x3 y = 2x3 D f = R f = y = 5x3 Obsérvese el efecto y = c·f(x) Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d

Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d y = x3 + 1 y = x3 y = x3 - 2 y = x3 + 3 D f = R f = Obsérvese el efecto y = f(x) + c Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d

Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d y = (x + 1)(x - 2)(x - 3) = x3 - 4x2 + x +6 D f = R f = Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d

Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d y = (x + 1)2(x - 2) = x3 - 3x - 2 Solución doble D f = R f = Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d

Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d y = (x2 + 1)(x - 2) = x3 - 2x2 + x - 2 D f = R f = Raíces complejas Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d

Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d D f = R f = y = (x -1)(x - 2)(3 - x) = -x3 + 6x2 -11x + 6 Obsérvese el efecto del coeficiente líder negativo Funciones cúbicas: y = ax3 + bx2 + cx + d

Funciones cuárticas: y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e y = (x +1)x(x - 1)(x -2) = x4 - 2x3 - x2 + 2x D f = Funciones cuárticas: y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

Funciones fraccionarias Pn(x) Qm(x) y = D f = - {x/ Qm(x) = 0}

R f = - {0} Funciones fraccionarias Gráfica: HIPÉRBOLA Asíntota horizontal y = 0 x = 0 x = 3 R f = - {0} x = -3/4 Gráfica: HIPÉRBOLA Asíntotas verticales

D f = - {-2} R f = - {3/5} Funciones fraccionarias Gráfica: HIPÉRBOLA Asíntota vertical 5x + 10 = 0 x = -2 Asíntota horizontal D f = - {-2} R f = - {3/5} Gráfica: HIPÉRBOLA

D f = - {-1, 4} Funciones fraccionarias Asíntotas verticales x = -1 x = 4 Asíntota horizontal y = 1 D f = - {-1, 4}

Ejemplos de aplicaciones de funciones fraccionarias: A. Principio de continuidad hidrodinámica S1V1 = S2V2 = G (Gasto)  S = G/V B. Ley de Boyle: PV = k  V = k/P C. Ley de Gravitación Universal: D. Ley de Coulomb:

Funciones trascendentes Exponencial Logarítmica Trigonométricas ··· ··· ···

Función exponencial y = ax a>0

D f = R f = (0, +) Función exponencial y = 10x y = ex y = 2x Asíntota horizontal y = 0 e  2’718281828459045235360... Función monótona creciente

D f = R f = (0, +) Función exponencial y = 0’5x y = (1/e)x y = 0’1x Asíntota horizontal y = 0 Función monótona decreciente

Función exponencial y = ax a>0 D f = R f = (0, +) f(0) = 1 RESUMEN D f = R f = (0, +) f(0) = 1 Monótona creciente si a> 1 Monótona decreciente si 0 < a < 1

Ejemplos de aplicaciones de la función exponencial A. Crecimiento malthusiano: P(t) = P0·akt B. Crecimiento logístico: C. Presión atmosférica: a = 8 Km; p(0) = presión a nivel del mar; h en Km

Función logarítmica y = loga(x) a > 0

como función inversa de la función exponencial Función logarítmica como función inversa de la función exponencial Función exponencial y = ax D f = R f = (0, +) a0 = 1 Loga(1) = 0 Función logarítmica y = loga(x) D f = (0, +) Bisectriz y = x R f =

Función logarítmica y = log2(x) y = ln(x) y = log(x)

Función logarítmica y = log0’1(x) y = log1/e(x) y = log0’5(x)

Ejemplos de aplicación de la función logarítmica A. Ley de Fechner: logI2 - logI1 = 2(logP2 - logP1) Unidad de medida: BEL (divisor DECIBEL) Pi = Potencia sonora; Ii = Intensidad de sonido (unidad de medida: FON) B. Escala de Richter: M = LogA + C A = Amplitud de las ondas superficiales C = 3’3 + 1’66·LogD - LogT T = Período de las ondas registradas en el sismógrafo D = Distancia (en grados) desde el sismógrafo al epicentro

Funciones trigonométricas

y = cos(x) y = sen(x) D f = D f = R f = [-1, 1] R f = [-1, 1]

La función y = sen(x) es periódica: Período = 2  sen(x + 2) = sen(x)

La función y = cos(x) es periódica: Período = 2  cos(x + 2) = cos(x)

D f = - {(2k+1)/2; kZ} R f = y = tg(x) : función periódica Asíntotas verticales Período =   tg(x + ) = tg(x) R f =

Algunas correspondencias inversas de las funciones trigonométricas RAMA PRINCIPAL RAMA PRINCIPAL PRINCIPAL RAMA y = arc sen(x) y = arc cos(x) y = arc tg (x)

i = im·sen(ωt + φ) x = a·sen(ωt + φ) Ejemplos de aplicaciones de funciones trigonométricas A. Intensidad de corriente alterna: i = im·sen(ωt + φ) B. Movimiento vibratorio armónico simple: x = a·sen(ωt + φ) C. Desarrollos de Fourier

FIN DEL ESTUDIO GENERAL SOBRE FUNCIONES REALES