FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

De la misma forma que descomponemos un número en factores primos: 30 = 2 . 3 . 5 Ahora descompondremos un polinomio en sus factores primos: Ejemplo: x2 + x - 6 = (x – 2) . (x + 3)

Ejemplos de polinomios primos: Son polinomios primos aquellos que sólo son divisibles entre sí mismos y la unidad. Ejemplos de polinomios primos: x x + 1 x - 2 2x + 1 x2 + 1 x4 + 2 En general son primos todos los polinomios de la forma (x – a)

Si tomamos el ejemplo inicial: x2 + x - 6 = (x – 2) . (x + 3) x = 2 x = -3 Observamos que si sustituimos la x por 2 se anulará el primer factor. Así mismo se anulará el segundo factor si la sustituimos por -3. En ambos casos se anulará el producto resultante, es decir El VALOR NUMÉRICO DEL POLINOMIO. Estos números reales son las RAÍCES del polinomio

Estos son los factores primos en los que se descompone el polinomio Definición de RAÍZ de un polinomio: Cada uno de los valores reales que sustituidos por la x anulan el valor numérico del polinomio. Si a1 , a2 , a3 , …son raíces de un polinomio, se cumple que: P (x) = k . (x – a1) . (x – a2) . (x – a3) . … Atención a este factor k Estos son los factores primos en los que se descompone el polinomio

P (x) = k . (x – a1) . (x – a2) . (x – a3) . … ¿Cómo podemos hallar las RAÍCES de un polinomio? Como las raíces son los valores de la x que anulan el polinomio, las hallaremos anulando dicho polinomio, es decir: Resolviendo la ecuación P(x) = 0 O tanteando que valores de x anulan el valor numérico del polinomio P(a) = 0 Veamos varios ejemplos:

Ejemplo 1 Si P(x) es un polinomio de segundo grado: Sólo tenemos que resolver la ecuación x2 + x – 6 = 0 P(x) = x2 + x - 6 x = 2 Si las soluciones de la ecuación son: x = - 3 y - 3 son las RAÍCES del polinomio por lo que ya podemos factorizarlo: P(x) = (x -2) . (x +3)

Atención a este coeficiente P(x) = 2x2 + 3x - 2 2 Ejemplo 2 Sea Atención a este coeficiente Resolvemos la ecuación: P(x) = 0 x = 1/2 Como las soluciones son x = -2 Casi tenemos factorizado P(x): P(x) = ? (x – 1/2) .(x+2) Lo conseguiremos añadiendo el coeficiente del término de mayor grado: P(x) = 2 (x – 1/2) .(x+2)

Ejemplo 3 Sea P(x) = x2 - 10x + 25 Si observamos con atención, vemos que es el desarrollo de un producto notable: P(x) = x2 - 10x + 25 En este caso (x)2 -2.x.5 +52 a2 – 2ab + b2 Por lo que P(x) = (x – 5)2 (a – b)2 Nos ahorraremos mucho trabajo si sabemos distinguir los PRODUCTOS NOTABLES.

× Cociente (x) Ejemplo 4 Sea P(x) = x3 +2x2 –x- 2 Si queremos factorizar o hallar las raíces de un polinomio de GRADO SUPERIOR A DOS, siempre nos queda EL MÉTODO DE RUFFINI SI conseguimos una división exacta de P(x) entre un binomio del tipo (x –a) Es decir de resto 0 Podremos factorizar el polinomio, aplicando: Dividendo = Divisor × Cociente P(x) = (x –a) × Cociente (x)

× Cociente (x) En el caso de nuestro polinomio ejemplo P(x) = x3 +2x2 –x- 2 Conseguimos una división exacta entre (x –1) Así conseguimos el primer factor primo de P(x): 1 2 -1 -2 1 1 3 2 1 3 2 P(x) = (x – a) × Cociente (x) x3 + 2x2 – x - 2 = (x – 1) . (x2 + 3x + 2)

P(x) = (x – a) Cociente (x) ¿Como conseguimos encontrar esta raíz a ? Siempre lo buscaremos entre los divisores enteros del término independiente de P(x) En el ejemplo: Divisores de -2 P(x) = x3 +2x2 - x - 2 Tantearemos por Ruffini cuales de estos BINOMIOS son divisores de nuestro polinomio P(x), es decir dan resto cero en la división.

⇒  ⇒ Comenzaremos tanteando por las raíces más pequeñas: Siempre podemos ahorrar tanteos si antes comprobamos para que valores de x se anula el valor numérico de P(x) P(x) = x3 +2x2 - x - 2 1 2 -1 -2 Probamos con el 1 1 1 3 2 1 3 2 = Resto ⇒  x = 1 es raíz del polinomio Como la división es exacta ⇒ P(x) = (x - 1) . (x2 + 3x +2)

Seguir tanteando por Ruffini P(x) = (x - 1) . (x2 + 3x +2) Seguimos DESCOMPONIENDO EN FACTORES PRIMOS el polinomio cociente obtenido C(x) = x2 + 3x + 2 Como es un polinomio de grado 2 tenemos dos opciones a elegir: Resolver la ecuación x2 + 3x + 2 = 0 OPCIÓN A Seguir tanteando por Ruffini OPCIÓN B Esta opción es la mejor

Seguir tanteando por Ruffini C(x) = x2 + 3x + 2 Si elegimos la OPCIÓN B Seguir tanteando por Ruffini Seguimos buscando otra vez entre TODOS los divisores del término independiente Divisores de 2 1 3 2 Probamos con el 1 1 1 4 (x-1) NO es divisor de C(x) ⇒ 1 4 6

⇒ C(x) = x2 + 3x + 2 1 3 2 Probamos con el -1 (x+1) es divisor de C(x) 1 3 2 Probamos con el -1 (x+1) es divisor de C(x) -1 -1 -2 ⇒ 1 2 Volvemos a aplicar la regla: Dividendo = Divisor × Cociente C(x) = x2 + 3x + 2 = ( x + 1) . (x +2) x = -1 Las raíces del polinomio C(x) son: x = -2

Resumiendo todo el Ejemplo 4: Partíamos del polinomio P(x) = x3 +2x2 –x- 2 Dividiendo entre (x – 1): P(x) = (x – 1) . (x2 +3x + 2) Como acabamos de comprobar: C(x) = x2 + 3x + 2 = (x + 1) . (x + 2) Finalmente P(x) = (x – 1) . (x + 1) . (x + 2)

También podemos resumirlo así: 1 2 -1 -2 P(x) = x3 +2x2 –x- 2 1 1 3 2 1 3 2 P(x) = (x – 1) . (x2 +3x + 2) -1 -1 -2 1 2 P(x) = (x – 1) . (x + 1) . (x + 2) Las raíces de P(x) son 1 , -1 y -2.

EJEMPLOS DE FACTORIZACIONES P(x) = x3 - 3x - 2 Vamos a factorizar Recordemos los pasos a seguir: ¿Podemos sacar factor común? No ¿Es identidad notable? No ¿Es ecuación de segundo grado? No Luego como es un polinomio de grado tres, utilizaremos Ruffini

P(x) = x3 - 3x - 2 Los divisores del término independiente, - 2 son: 1, - 1, 2, - 2. 1 -3 -2 + Probemos con el 1 1 1 1 -2 Como no nos da 0, el 1 no es raíz y tendremos que probar con otro número. Probemos con el -1. . 1 1 -2 -4 En este caso como nos da 0, el -1 es raíz del polinomio 1 -3 -2 x + 1 -1 -1 1 2 Continuamos probando con el -1. 1 -1 -2 Luego el -1 sale de nuevo raíz. -1 2 -1 x + 1 x - 2 1 -2 Además tenemos

P(x) = x3 - 3x – 2 = (x + 1)·(x + 1)·(x - 2) Recopilando los datos obtenidos nos han salido como polinomios divisores de P(x): El -1 ya había salido como raíz al aplicar Ruffini pero podemos tener alguna más igualando a 0 los demás polinomios divisores x + 1, x + 1, x - 2 x – 2 = 0 x = 2 Así P(x) quedará factorizado como: P(x) = x3 - 3x – 2 = (x + 1)·(x + 1)·(x - 2) Sus raíces son: -1, -1, 2 Esta es una de las formas de factorizar este polinomio, mediante Ruffini. Otra sería:

x3 - 3x – 2 = (x + 1)·(x + 1)·(x - 2) P(x) = x3 - 3x - 2 Aplicaríamos Ruffini: Resolvemos la ecuación de segundo grado. 1 -3 -2 -1 2 x = -1 El conjunto de todas las raíces son: -1, -1, 2. x2 – x – 2 = 0 x = 2 Raíces: Polinomios divisores de P(x): Así P(x) queda factorizado: -1 x + 1 x3 - 3x – 2 = (x + 1)·(x + 1)·(x - 2) -1 x + 1 2 x - 2

P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6) Comenzamos a factorizar siempre haciéndonos las mismas preguntas P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x ¿Podemos sacar factor común? Sí, se repite 3x en todos los monomios que forman P(x). P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6) Ahora nos centraremos en factorizar… ¿Es identidad notable? No ¿Es ecuación de segundo grado? No Luego como es un polinomio de grado tres, utilizaremos Ruffini.

P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6) = Los divisores del término independiente, 6, son: 1, -1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6. Comenzaríamos probando con el 1. 2 -3 -11 +6 -2 1 -4 1 14 -2 -6 -13 Como no da cero borraríamos y probaríamos con otro divisor de 6. 2 1 -7 -2 3 -13 -7 Probaríamos con el -1 y el 2 y comprobaríamos que el resto no es 0. Sin embargo con el -2 da 0. Luego si -2 es raíz, un divisor de P(x) es: x + 2 x2 - 7x + 3 Y el otro polinomio que obtenemos en Ruffini es: Por lo tanto: (2x3 – 3x2 – 11x +6) = (x + 2)·(x2 – 7x +3) Así, P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x quedará factorizado: P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6) = = 3x·(x + 2)·(x2 – 7x +3)

Para acabar de factorizar tomaremos 2x2 -7x +3 y hallaremos sus raíces. Igualamos a 0 el polinomio y resolvemos la ecuación: 2x2 -7x +3 = 0 x1 = 3 (x – 3) x - 3 Las soluciones obtenidas serán: x2 = (x – ½) x – 1/2 · · 2 Por lo tanto 2x2 -7x +3 = ¿Por qué ponemos el 2? Porque si sólo multiplicamos (x – 3) · (x – ½), el coeficiente de mayor grado no quedaría 2x2, sino x2. Así P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x quedará factorizado: P(x) = 6x4 – 9x3 – 33x2 + 18x = 3x·(2x3 – 3x2 – 11x +6) = = 3x·(x + 2)·(2x2 – 7x +3) = 3x ·(x + 2)·(x – 3) ·(x -1/2) · 2

P(x) = 3x ·(x + 2)·(x – 3)·(x -1/2) · 2 Recopilemos toda la información obtenida: P(x) = 3x ·(x + 2)·(x – 3)·(x -1/2) · 2 Raíces: Polinomios divisores de P(x): -2 x + 2 3 x - 3 1/2 x – 1/2 x ¡Pero falta otra raíz! Como tenemos la x como factor, si igualamos a 0 dicho factor, obtenemos x = 0

P(x) = x6 + 2x5 + x4 + 8x3 - 12x2 P(x) = x6 + 2x5 + x4 + 8x3 – 12x2 = Hagámonos las preguntas: ¿Podemos sacar factor común? Sí, x2. P(x) = x6 + 2x5 + x4 + 8x3 – 12x2 = = x2 · (x4 + 2x3 + x2 + 8x - 12) Ahora factorizamos: ¿Es identidad notable? No ¿Es ecuación de segundo grado? No Luego como es un polinomio de grado cuatro, utilizaremos Ruffini.

Los divisores del término independiente, 12, son: 1, -1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6, 12, -12. x4 + 2x3 + x2 + 8x - 12 1 2 8 -12 1 1 3 4 12 Comenzamos probando con el 1. 1 3 4 12 Luego el 1 es raíz del polinomio, y así un divisor de P(x) es . -3 -12 -3 x - 1 1 4 Probaríamos con el 1, -1, 2, -2, 3 y comprobaríamos que el resto no es 0. Sin embargo con el -3 da 0. Luego si -3 es raíz, otro divisor de P(x) es: x + 3 x2 + 4 Y el otro polinomio que obtenemos en Ruffini es: Por lo tanto: (x4 + 2x3 + x2 + 8x - 12) = (x -1)·(x +3)·(x2 + 4)

Para acabar de factorizar tomaremos x2 + 4 y hallaremos sus raíces, resolviendo la ecuación: Dicha ecuación no tiene soluciones reales, luego el polinomio queda factorizado: P(x) = x6 + 2x5 + x4 + 8x3 – 12x2 = = x2 · (x4 + 2x3 + x2 + 8x - 12) = = x2 · (x -1) · (x +3) · (x2 + 4) Sus raíces son: 0, 1, -3,