FÍSICA PARA INGENIEROS I Oscilaciones Mecánicas Tercer encuentro Docente: Lic. Anays Mata Mayo

Índice Bases matemáticas Movimiento Armónico El oscilador armónico simple Movimiento armónico simple Consideraciones de energía en el M.A.S. Movimiento armónico amortiguado Oscilaciones forzadas y resonancia

Fenómenos oscilatorios

Funciones seno y coseno y=sen x y´=cos x y´´=-sen x y= cos x y´=-sen x y´´=- cos x Máximo: y=1 Mínimo: y=-1

Conceptos fundamentales Movimiento periódico: Se repite a intervalos iguales de tiempo Periodo: tiempo que se requiere para realizar cada repetición sucesiva de ida y vuelta Frecuencia: Número de vibraciones por unidad de tiempo (𝑓= 1 Τ ) Posición de equilibrio: posición para la cual no obra ninguna fuerza sobre la partícula Elongación: distancia de la partícula que oscila a su posición de equilibrio Amplitud: Elongación máxima

Oscilador armónico simple Movimiento Armónico Simple: Partícula que vibra con respecto a una posición de equilibrio Bajo la influencia de una fuerza que es proporcional a la distancia de la partícula a la posición de equilibrio Ej. Partícula de masa m fija a un resorte cuya constante de fuerza es k (N/m)

Oscilador armónico simple Uno de los ejemplos clásicos de movimiento armónico simple es el descrito por una partícula de masa m acoplada a un resorte con constante de elasticidad k. Cuando esta partícula se desplaza (sin rozamiento) a una distancia x de la posición de equilibrio (posición donde el resorte no está deformado), actúa sobre ella una fuerza  que es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste F=-kx El signo “–” indica que la fuerza está dirigida hacia la izquierda cuando x es positiva, y hacia la derecha cuando x es negativa. La fuerza sobre la partícula está siempre dirigida hacia la posición de equilibrio x = 0 Suelto Estirado Comprimido

Ecuaciones F=m𝒶 F=-kx 𝒶= 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 -kx = m 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 𝒶= 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 -kx = m 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 m 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 +kx = 0 (Ecuación Diferencial, solución: función)

Movimiento Armónico Simple m 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 +kx = 0 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 = - 𝑘 𝑚 x La ecuación anterior requiere que x(t) sea alguna función cuya segunda derivada sea igual a la función misma, y con signo cambiado, salvo por un factor constante k/m. Funciones seno y coseno Haciendo entonces un intento de resolver la ecuación diferencial planteamos una posible solución 𝒙=𝑨 𝐜𝐨𝐬 (𝝎𝒕+𝜹)

𝑑𝑥 𝑑𝑡 =−𝜔𝐴 sen (𝜔𝑡+𝛿) 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 = − 𝜔 2 𝐴 cos (𝜔𝑡+𝛿) 𝒙=𝑨 𝐜𝐨𝐬 (𝝎𝒕+𝜹) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 =−𝜔𝐴 sen (𝜔𝑡+𝛿) 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 = − 𝜔 2 𝐴 cos (𝜔𝑡+𝛿) Sustituyendo en: 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 = - 𝑘 𝑚 x Tenemos: − 𝜔 2 𝐴 cos (𝜔𝑡+𝛿) = − 𝑘 𝑚 𝐴 cos (𝜔𝑡+𝛿) ∴ 𝜔 2 = 𝑘 𝑚 De forma tal que es una constante, de ahí que la ecuación 𝒙=𝑨 𝐜𝐨𝐬 (𝝎𝒕+𝜹) es efectivamente una solución de la ecuación diferencial del oscilador armónico simple.

Importancia Física constante 𝝎 Si el tiempo t se aumenta en 2𝜋 𝜔 , la función del M.A.S. se transforma en: 𝒙=𝑨 𝐜𝐨𝐬 (𝝎𝒕+𝜹) 𝒙=𝑨 𝐜𝐨𝐬 [𝝎(𝒕+𝟐𝝅⁄𝝎)+𝜹] 𝒙=𝑨 𝐜𝐨𝐬 (𝝎𝒕+𝟐𝝅+𝜹) 𝒙=𝑨 𝐜𝐨𝐬 (𝝎𝒕+𝜹) . Esto es, la función simplemente se repite después de un tiempo 2𝜋 𝜔 . Por consiguiente, 2𝜋 𝜔 es el periodo Τ del movimiento El periodo de oscilación depende de la masa de la partícula m que vibra y de la constante de fuerza k 𝜯= 𝟐𝝅 𝝎 =𝟐𝝅 𝒎 𝒌 𝑓= 1 Τ = 𝝎 𝟐𝝅 = 𝟏 𝟐𝝅 𝒌 𝒎 La frecuencia del oscilador es el número de vibraciones completas por unidad de tiempo

Importancia Física constante 𝝎 La cantidad ω a menudo se llama frecuencia angular, ya que es 2𝜋 veces la frecuencia 𝑓. (𝝎 =𝟐𝝅𝒇= 𝟐𝝅 𝜯 ) Tiene las dimensiones de la velocidad angular, ya que es 2𝜋 Τ . Sus unidades son rad/s

Importancia Física constante 𝑨 La función coseno toma valores desde -1 hasta +1. La elongación x, contada a partir de la posición central de equilibrio x=0 tiene un máximo valor de A. Por tanto, A (=xmáx.) es la amplitud del movimiento. El periodo de un movimiento armónico simple es independiente de la amplitud:

Importancia Física constante 𝜹 La cantidad 𝝎𝒕+𝜹 se llama fase del movimiento. La constante 𝜹 se llama constante de fase. Dos movimientos pueden tener la misma amplitud y frecuencia, pero diferir en fase. Si 𝜹=−𝜋/2, 𝒙=𝑨 𝐜𝐨𝐬 (𝝎𝒕+𝜹) = 𝑨 𝐜𝐨𝐬 (𝝎𝒕−𝟗𝟎º) 𝒙= 𝑨 𝐬𝐞𝐧 𝝎𝒕 (La elongación es 0 para t=0) Si 𝜹=0, 𝒙=𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝎𝒕 (La elongación es máxima para t=0) Fig. Si 𝜹=𝜋/4, para t=0, x=0,707 Amáx.

La amplitud A y la constante de fase 𝜹 de la oscilación se determinan por la posición y la velocidad iniciales de la partícula. Estas dos condiciones iniciales determinan A y 𝜹 exactamente. Una vez que haya comenzado el movimiento, la partícula continuará oscilando con una amplitud y constante de fase constantes a frecuencia fija, a no ser que otras fuerzas alteren el sistema

Comparación de movimientos armónicos ¿Pudiera usted escribir una ecuación para cada movimiento?

Relación entre x, v, 𝓪 𝑑𝑥 𝑑𝑡 =−𝜔𝐴 sen (𝜔𝑡+𝛿) 𝒙=𝑨 𝐜𝐨𝐬 (𝝎𝒕+𝜹) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 =−𝜔𝐴 sen (𝜔𝑡+𝛿) 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 = − 𝜔 2 𝐴 cos (𝜔𝑡+𝛿)

Consideraciones energéticas en el M.A.S. El oscilador armónico simple es un sistema CONSERVATIVO. 𝐹=− 𝑑𝑈 𝑑𝑥 =−𝑘𝑥 (U=Ep) En el sistema no actúan fuerzas disipativas, por tanto se conserva la energía mecánica Δ𝐸𝑚=0 La energía cinética y la potencial varían durante la oscilación, pero su suma se conserva 𝐸𝑚=𝐸𝑐+𝐸𝑝=𝑐𝑡𝑒

Consideraciones energéticas en el M.A.S. 𝐸𝑐= 1 2 𝑚 𝑣 2 𝑣= 𝑑𝑥 𝑑𝑡 =−𝜔𝐴 sen (𝜔𝑡+𝛿) 𝜔 2 = 𝑘 𝑚 𝐸𝑐= 1 2 𝑚 𝜔 2 𝐴 2 sen 2 (𝜔𝑡+𝛿) 𝐸𝑐= 1 2 𝑘 𝐴 2 sen 2 (𝜔𝑡+𝛿) 𝑬𝒄 𝒎á𝒙 = 𝟏 𝟐 𝒌 𝑨 𝟐 𝐸𝑝= 1 2 𝑘 𝑥 2 𝒙=𝑨 𝐜𝐨𝐬 (𝝎𝒕+𝜹) 𝐸𝑝= 1 2 𝑘 𝐴 2 cos 2 (𝜔𝑡+𝛿) 𝑬𝒑 𝒎á𝒙 = 𝟏 𝟐 𝒌 𝑨 𝟐

Consideraciones energéticas en el M.A.S. 𝐸𝑚=𝐸𝑐+𝐸𝑝 𝐸𝑚= 1 2 𝑘 𝐴 2 sen 2 (𝜔𝑡+𝛿) + 1 2 𝑘 𝐴 2 cos 2 (𝜔𝑡+𝛿) 𝑠𝑒𝑛 2 x+ 𝑐𝑜𝑠 2 x=1 𝑬𝒎= 𝟏 𝟐 𝒌 𝑨 𝟐 Em = 1 2 𝑚 𝑣 2 + 1 2 𝑘 𝑥 2 = 1 2 𝑘 𝐴 2 𝑚 𝑣 2 + 𝑘 𝑥 2 =𝑘 𝐴 2 𝑣 2 = 𝑘 𝐴 2 − 𝑘 𝑥 2 𝑚 𝑣=± 𝑘 𝑚 ( 𝐴 2 − 𝑥 2 ) x=0 v máx x=A v mín.

𝐸𝑝= 1 2 𝑘 𝐴 2 cos 2 (𝜔𝑡+𝛿) 𝐸𝑐= 1 2 𝑘 𝐴 2 sen 2 (𝜔𝑡+𝛿) 𝑬𝒑= 𝟏 𝟐 𝒌 𝒙 𝟐 𝐸𝑐= 1 2 𝑚 𝑣 2 𝐸𝑐= 1 2 𝑚 𝑘 𝐴 2 − 𝑘 𝑥 2 𝑚 𝑬𝒄= 𝟏 𝟐 𝒌 𝑨 𝟐 − 𝟏 𝟐 𝒌 𝒙 𝟐

Ejercicio Se sabe que un resorte se estira 0,076 m con respecto a su posición de equilibrio cuando obra sobre él una fuerza de 3,34 N. Se toma un cuerpo de 0,68 kg, se fija al extremo del resorte y se jala 0,1 m a partir de su posición de equilibrio en una mesa horizontal sin fricción. Entonces se suelta el cuerpo y ejecuta un movimiento armónico simple. a)¿Cuál es la constante de fuerza del resorte? b)¿Cuál es la fuerza ejercida por el resorte sobre el cuerpo de 0,68 kg cuando está a punto de ser soltado? c) ¿Cuál es el periodo de oscilación después de soltar el cuerpo? d) ¿Cuál es la amplitud del movimiento? e) ¿Cuál es la máxima velocidad del cuerpo en vibración? f) ¿Cuál es la máxima aceleración del cuerpo? g) Calcule la velocidad, la aceleración y las energías cinética y potencial del cuerpo cuando se ha movido a la mitad de su distancia hacia el centro del movimiento, a partir de su posición inicial h) Calcule la energía total del sistema oscilante i) ¿Cuál es la ecuación del movimiento del cuerpo?

Movimiento armónico amortiguado En la práctica la amplitud de la oscilación gradualmente decrece hasta cero, como consecuencia de la fricción. La magnitud de la fricción depende de la velocidad, creándose una fuerza amortiguadora −𝑏 𝑑𝑥 𝑑𝑡. La figura representa un ejemplo de oscilador amortiguado. Un disco está fijo a la masa y sumergido en un fluido que ejerce una fuerza amortiguadora −𝑏 𝑑𝑥 𝑑𝑡. La fuerza elástica restauradora es −𝑘𝑥.

Movimiento armónico amortiguado Ecuación del movimiento:

Cuando hay fricción la frecuencia es más pequeña y el periodo más grande. La fricción retarda el movimiento 𝝎´<𝝎 Si no hubiera fricción b=0 y 𝜔´= 𝑘 𝑚 que es la frecuencia angular del movimiento no amortiguado. 𝝎´=𝝎 Cuando hay fricción la amplitud del movimiento se reduce gradualmente hasta 0. El factor de amplitud es 𝐴 𝑒 − 𝑏𝑡 2𝑚 . Si no hubiera fricción b=0 y la amplitud tendría valor constante A en el tiempo como en el movimiento armónico simple.

Oscilaciones forzadas y resonancia Cuerpo que se somete a una fuerza externa oscilatoria

El sistema vibra con la frecuencia ω” de la fuerza aplicada y no con su frecuencia natural ω. G es grande cuando ω” es muy diferente de ω, siendo la amplitud del movimiento resultante muy pequeña. Cuando ω” y ω se aproximan, G se hace pequeño y la amplitud aumenta. ω” ≈ ω La amplitud llega a un valor máximo cuando la frecuencia impulsora y la frecuencia natural son casi iguales. RESONANCIA

La amplitud de las vibraciones forzadas depende de la fuerza de fricción y de la frecuencia aplicada. A mayor fricción, mayor G y menor amplitud. Cuando no hay fricción (b=0) y ω”≈ω, la amplitud se hace infinita en la resonancia.

El 1º de Julio de 1950 el puente de Tacoma Narrows en Puget Sounds Washington, E.U.A. se terminó y se abrió al tráfico. Era entonces el tercer puente más grande del mundo. Exactamente 4 meses después un viento moderado puso al puente a oscilar hasta que el tramo central se rompió, arrancándose de los cables que lo soportaban y estrellándose en el agua del río. El viento que estaba soplando produjo una fuerza resultante en resonancia con una frecuencia natural de la estructura. Esto originó un aumento constante de amplitud hasta que el puente quedó destruido. Más tarde se recalcularon muchos puentes para hacerlos aerodinámicamente estables.

fin