CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLOGICOS DEL MAR 31 Material de apoyo para la evaluación del segundo periodo LA DERIVADA * Noción de derivada * Calculo de distintas derivadas Prof. Agustín Jaime Ortiz Díaz 1

Hasta el momento, de una función expresada algebraicamente, y=f(x), podemos conocer: Dominio Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y Continuidad Asíntotas y ramas parabólicas Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero conocer: Intervalos de crecimiento / decrecimiento Máximos y mínimos relativos Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS DERIVADAS 2

La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas tangentes: 3

m=0 m<0 m>0 m<0 En los puntos de máximo o mínimo, la recta tangente es horizontal ( es decir, la pendiente es 0) En los tramos de crecimiento la recta tangente tiene pendiente positiva, en los de decrecimiento la tiene negativa. 4

y=-3/2x-24 y=-4 y=3 y=1,2x+1,5 y=-1,3x+13 La derivada de la función f en a se denota con el símbolo f’(a), que se lee “f prima de a” f’( -4,5)= -3/2 porque la tangente en el punto de abscisa 4,5 tiene pendiente - 3/2. f’(-2)= 0f’(4)=0 f’(2)=1,2f’(6)=-1,3 Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a 5

Conocidos dos puntos de la recta tangente puedo calcular su ecuación. (1,-1) (3,2) y=mx+n Pasa por (1,-1) -1=m+n Pasa por (3,2) 2=m·3+n Resolviendo el sistema: y= 3/2 x-5/2 De esta manera f’(3)=3/2 6

Lo anterior es muy largo pues lo único que me interesa saber es la “m”. Para calcularla hay una manera muy fácil: (1,-1) )=(x 0,y 0 ) (3,2)=(x 1,y 1 ) De esta manera f’(3)=3/2 7

O LO QUE ES LO MISMO: 8

Nos proponemos ahora calcular la pendiente la recta t tangente en un punto de abscisa x=a. Pero sólo tenemos el punto de tangencia A de la recta t, y para hallar su pendiente necesitamos dos puntos. ¿Qué hacer? Resolvamos la cuestión en varias etapas. A(a,f(a)) Recta t 9

Estamos sobre el eje X en a, abscisa del punto A de tangencia, y nos desplazamos hacia la derecha o izquierda una distancia h. Tenemos así el punto x=a+h sobre el eje X y su correspondiente punto de la gráfica P((a+h), f(a+h)) A(a,f(a)) Recta t aa+h P(a+h,f(a+h)) 10

A(a,f(a)) Recta t aa+h P(a+h,f(a+h)) Calculamos la pendiente de la recta secante AP con las coordenadas de los dos puntos A y P. h f(a+h)-f(a) 11

Si h es muy pequeño, a+h está muy cerca de a. De esta forma: A aa+h P h 0 12

A aa+h P h 0 P está muy próximo a A La secante AP “casi” se confunde con la tangente t La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t Ahora bien, el valor de h no puede ser 0, aunque sí todo lo pequeño que se quiera. Y aquí interviene el concepto de límite. 13

A aa+h P P está muy próximo a A La secante AP “casi” se confunde con la tangente t La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t Así pues la derivada es un número que se obtiene mediante un límite 14

Calcula la derivada de f(x)=x 2 /4 para a=2 15

* La pendiente de la recta tangente a la función en el punto x=2 es 1, por lo que la recta tangente a mi función en x=2 es: f(x)=x 2 /4 * Además como la derivada es +, esto indica que cerca de x=2 la función es creciente. (x 0,y 0 ) y=y 0 +m(x-x 0 ) 16

Derivada de funciones polinómicas SSea f(x) = kAplicando la definición de derivada de una función:  f (x + h) - f(x) k - k 0 ff ‘ (x) = lím = = = 0  h  0 h h h SSea f(x) = x AAplicando la definición de derivada de una función:  f (x + h) - f(x) x + h - x h ff ‘ (x) = lím = = = 1  h  0 hh h  2 SSea f(x) = xAplicando la definición de derivada de una función:  f (x + h) - f(x) (x + h) - x x + 2.x.h + h - x ff ‘ (x) = lím = = =  h  0 hh h  = 2.x + h = 2.x + 0 = 2.x 17

 3 2 SSea f(x) = x  De igual manera se llegaría a que f ‘ (x) = 3.x RResumiendo: ff (x) = x  f ‘ (x) = 1  2 ff (x) = x  f ‘ (x) = 2.x  3 2 ff (x) = x  f ‘ (x) = 3.x  n n - 1 GGeneralizando:f (x) = x  f ‘ (x) = n. x CComo se ve para hallar la función derivada de una expresión polinómica, el exponente de la x pasa multiplicando y el nuevo exponente presenta una unidad menos. 18 Derivada de funciones polinómicas

DDERIVADA DE UNA CONSTANTE ff(x) = k  f’(x) = 0 EEjemplos yy = 4  y’=0 yy = -√3  y’=0 yy = (e – 2) / π  y’=0 DDERIVADAS POLINÓMICAS  n n - 1 ff (x) = x  f ‘ (x) = n. x EEjemplos yy = x 4  y’= 4. x 3 yy = -x 7  y’= -7. x 6 yy = x 42  y’= 42. x Para aprender (1)

DDERIVADA DE LA INVERSA ff(x) = 1/x  f’(x) = -1/ x 2 DDERIVADA DE LA RAIZ ff (x) = √x  f ‘ (x) = 1 / 2.√x DDERIVADA DE LA EXPONENCIAL ff(x) = e x  f’(x) = e x ff(x) = a x  f’(x) = a x.ln a DDERIVADA DEL LOGARITMO ff(x) = ln x  f’(x) = 1 / x ff(x) = log x  f’(x) = 1 / x.ln Para aprender (2)

 g(x) SSea y = f(x) TTomando logaritmos: Ln y = g(x). Ln f(x) ; y derivamos... yy ‘ / y = [ g ‘ (x). Ln f(x) + g(x). ( f ‘(x) / f(x) )]  yy ‘ = y. [ … ]  g(x)  y ‘ = f(x). [ … ] DDERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS yy = sen x  y ‘ = cos x yy = cos x  y ‘ = - sen x yy = tg x = sen x / cos x yy’ = [cos x. cos x – sen x. (-sen x)] / cos 2 x yy’ = [cos 2 x + sen 2 x] / cos 2 x = 1 / cos 2 x 21 Para aprender (3)

SSea y = f(x)+g(x) yy’ = f ’(x) + g ‘(x) EEjemplos: yy = x 3 + x  y’ = 3.x yy = x 5 – x 3  y’ = 5.x 4 – 3.x 2 yy = e x + x 4  y’ = e x + 4.x 3 yy = x 3 + 1/x  y’ = 3.x 2 – 1/x 2 yy = x + √x – 3  y’ = 1 + 1/(2.√x) yy = x 2 + lnx  y’ = 2.x + 1/x 22 Derivada de la suma

SSea y = f(x)+g(x) yy’ = f ’(x) + g ‘(x) EEjemplos: yy = x 2 + lnx  y’ = 2.x + 1/x yy = e x – ln x + √e  y’ = e x – 1/x yy = x + sen x  y’ = 1 + cos x yy = x 3 – cos x  y’ = 3.x 2 + sen x yy = arctg x + tg x  y’ = 1 / (1 + x 2 ) + 1+tg 2 x yy = √x – arc sen x  y’ = 1/(2√x) – 1/√(1 – x 2 ) 23 Derivadas de la suma

SSea y = f(x). g(x) yy ’ = f ‘(x). g(x) + f(x). g ’(x) EEjemplos: yy = e x. x 4  y’ = e x x 4 + e x 4x 3 yy = x 3. 1/x  y’ = 3.x 2. 1/x + x 3.(-1/x 2 ) = 3x – x = 2x yy = x. √x  y’ = √x + x /(2.√x) yy = x 2.lnx  y’ = 2.x.lnx + x 2 1/x = 2.x.lnx + x yy = sen x. √x  y’ = cos x. √x + sen x. 1/(2.√x) yy = cos x.lnx  y’ = - sen x. lnx + cos x. 1/x 24 Derivadas del producto

SSea y = k.f(x) yy ' = k. f ‘(x) EEjemplos: yy = 4x 3  y’ = 12.x 2 yy = – 5x 7  y’ = – 35.x 6 yy = 5.e x + 2.x 4  y’ = 5.e x + 8.x 3 yy = 7.x 3 + 5/x  y’ = 21.x 2 – 5/x 2 yy = 3x + 7√x – e  y’ = 3 + 7/(2.√x) yy = - 3.x lnx  y’ = - 6.x + 5/x 25 Derivadas de constantes por función

SSea y = k.f(x) yy ' = k. f ‘(x) EEjemplos: yy = 9x 2 + 4lnx  y’ = 18.x + 4/x yy = 3e x – a.ln x + √e  y’ = 3e x – a/x yy = 7x – 2sen x  y’ = 7 – 2 cos x yy = 8.x 3 – e.cos x  y’ = 24.x 2 + e.sen x yy = 3.arctg x + 5.tg x  y’ = 3 / (1 + x 2 ) + 5.(1+tg 2 x) yy = 21.√x – 4.arc sen x  y’ = 21/(2√x) – 4/√(1 – x 2 ) 26 Derivadas de constante por función

SSea y = g(x) / f(x)  g ‘(x). f (x) – g (x). f ‘(x) yy ‘ =  f 2 (x) EEjemplos: yy = 2e x / x 4  y’ = (2e x x 4 – 2e x 4x 3 ) / x 8 yy = x 3 / (x – 1)  y’ = (3.x 2 (x – 1) – x 3.1) / (x – 1) 2 yy = (x + 3) / √x  y’ = (1. √x – (x + 3). 1/(2.√x)) / x yy = x 2 / (e x + x)  y’ = (2.x.(e x + x) – x 2. (e x + 1)) / (e x + x) 2 yy = (x + sen x) / cos x  y’ =((1+ cos x).cos x – (x + sen x).(- sen x)) / cos 2 x 27 Derivadas del cociente

EEjemplo 1 28 Ejemplo 2 Regla de la cadena. Derivada de una función compuesta.

EEjemplo 3 29 Regla de la cadena. Derivada de una función compuesta

EEjemplo 4 30 Regla de la cadena.