PROFESOR: JAIME H. QUISPE CASAS TEMA : CONECTIVOS LÓGICOS CUARTO AÑO AREA : MATEMATICA PROFESOR: JAIME H. QUISPE CASAS TEMA : CONECTIVOS LÓGICOS 2013

Conectivos lógicos Los conectivos lógicos son palabras o términos que se usan para enlazar proposiciones o cambiar el valor de verdad de una proposición. A la asociación de una proposición y un conectivo se llama OPERACIÓN LÓGICA

CLASES DE PROPOSICIONES Las proposiciones pueden ser: I.-SIMPLES o ATÓMICAS: Es aquella que contiene una sola afirmación y se simboliza con las letras p, q, r, s, t, …., además no existe conectivo lógico alguno. EJEMPLOS: p: Cincuenta es múltiplo de diez. q: La puerta es de madera r : 8 + 7 = 15 s: El cuadrado tiene tres lados

CLASES DE PROPOSICIONES II.- COMPUESTAS o MOLECULARES Son aquellas que están formada por dos o más proposiciones simples unidas por conectivos lógicos EJEMPLOS: a) 29 es un número primo y 5 es impar. b) Si 3 x 6 = 18 entonces 6 x 3 =18 c) La selección peruana de futbol bien gana o pierde d) Alfredo aprueba matemática si y solo si estudia con responsabilidad.

PROPOSICIONES Y VALOR DE VERDAD Si se tiene n proposiciones simples, y llamamos A al numero de filas que resultan de todos los arreglos posibles de las V y F , se presentan 2n posibilidades p p q p q r V V V V V V F V F V V F F V V F V 21 F F V F F F V V 22 F V F F F V OBSERVACION: La cantidad de filas en una tabla es: F F F 23

Definición de Algunos Enunciados Compuestos 1.-CONJUNCIÓN: Es la operación que enlaza dos proposiciones mediante el conectivo lógico "y". (  ) Ejemplo p : Jorge viajó al Cusco q : Luis viajó a Ica “Jorge viajó al Cusco y Luis viajó a Ica” p q Simbología: “p  q” NOTA: También equivalen al conectivo conjunción las palabras pero, sin embargo, aunque, además, no obstante, etc.

Definición de Algunos Enunciados Compuestos La conjunción (  ), solo es verdadera en el caso de que ambos proposiciones sean verdaderas en todo otro caso es falsa p  q V V V V F F F F V F F F

r : Juana viajará a Pacarán s : Juana viajará a Cerro azul 2. LA DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIVA.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “ o “, cuyo símbolo es “” y se llama disyuntor. r : Juana viajará a Pacarán s : Juana viajará a Cerro azul “Juana viajará a Pacarán o a Cerro Azul” r s Simbología: “r  s”

TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN DÉBIL p  q V V V La disyunción es falsa solo si ambas proposiciones son falsas V V F F V V F F F

p : Jorge radica en Quilmaná 3. LA DISYUNCIÓN FUERTE O EXCLUSIVA.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “O…..o………”, cuyo símbolo es “” y se llama disyuntor fuerte. Ejemplo: p : Jorge radica en Quilmaná q : Jorge radica en Lunahuaná “O Jorge radica en Quilmaná o en Lunahuaná” p q Simbología: “p  q ”

TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN FUERTE La disyunción fuerte es verdadera solo si ambas proposiciones tienen diferentes valores de verdad p  q V F V V V F La disyunción fuerte es falsa solo si ambas proposiciones tienen idénticos valores de verdad F V V F F F

p : Ana tiene DNI……..….… (antecedente) 4. EL CONDICIONAL.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “Si…….entonces…….”, cuyo símbolo es “→” y se llama implicador. Ejemplo: p : Ana tiene DNI……..….… (antecedente) q : Ana es mayor de edad…….(consecuente) “Si Ana tiene DNI entonces es mayor de edad” p q Simbología: “p → q ”

TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL CONDICIONAL p  q El condicional solo es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. V V V V F F F V V F V F

q : Sicilia está rodeada de agua 5. EL BICONDICIONAL.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “…..…si y sólo si……….”, cuyo símbolo es “↔” llamado doble implicador. Ejemplo: p : Sicilia es una isla q : Sicilia está rodeada de agua “Sicilia es una isla si y sólo si está rodeada de agua” q p Simbología: “p ↔ q ”

TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL BICONDICIONAL El bicondicional es verdadero solo si ambas proposiciones poseen idénticos valores de verdad p  q V V V V F F F F V El bicondicional es falso solo si ambas proposiciones poseen diferentes valores de verdad V F F

“Luis es profesor de matemática 6.- NEGACIÓN.- Afecta a una sola proposición. Es un operador monádico que cambia el valor de verdad de una proposición, cuyo símbolo es “” y se llama negador. Ejemplo: “Luis es profesor de matemática p “No es cierto que Luis es profesor de matemática” p “Es falso que Luis es profesor de matemática” p

TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA NEGACIÓN p  p V F F V

TABLA RESUMEN ~ Conector Valor de verdad Condición « V D ® F Ú Ù Si ambos tienen igual valor de verdad. D Si tienen valores diferentes de verdad. ® F Si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso Ú Si ambos son falsos Ù Si ambos son verdaderos ~ Si la proposición es falsa.

x2 = 9 es ecuación de 2º grado I.- Marcar con un aspa según corresponda a cada expresión o enunciado, e indique su valor de verdad. Nº EXPRESION o ENUNCIADO PROPOSICION   SI NO 1 11 es un número impar 6 2 6 + 7 = 13 7 x2 = 9 es ecuación de 2º grado 3 El Agua de mar es salada 8 /-3/ = -3 4 ¡Como estas! 9 19 es divisible por 2 5 Haz caminata temprano 10 Vino Javier  V  V  V   V  F   F  

a) José es médico y Fidel es ingeniero p  r II.- Escribir cada una de las siguientes proposiciones en forma simbólica Si p : José es médico ; q : José es dentista; r: Fidel es ingeniero a) José es médico y Fidel es ingeniero p  r b) Si José es médico o Fidel es ingeniero; entonces José es dentista (p  r )  q p  r c) José no es médico; pero Fidel no es ingeniero. d) Si Fidel es ingeniero y José no es dentista, entonces José es médico (r  q )  p

III.- Escribir en forma de oración el significado de las siguientes proposiciones: a) p   q José es médico y no es dentista b) (  p  q ) → r Si José no es médico o dentista, entonces Fidel es ingeniero c) p   q José es médico si, y solo si no es dentista d) r → ( p  q ) Si Fidel es ingeniero, entonces José es médico o dentista

III.- Si p y q son verdaderos r y s son falsos entonces el valor de verdad de: [ (p  q )  p ]  ( r  s ) es : solución [ (p  q )  p ]  ( r  s ) V  V V F  F V  V F V  V

IV.- Encontrar el valor de: ( p  q )   p   ( r  p ); siendo q y r falsos; p es verdadero. ( p  q )   p   ( r  p )  V V  F F  F  V V F F  V

EJERCICIOS PROPUESTOS V.- Si ( p  q )  r es falso determinar el valor de la verdad de las siguientes proposiciones: a) ( r  p )  ( r  q ) F b)  r  ( r  r ) F c) r  ( p  q ) v d) r  ( p  q ) F e) ( p  q )  r F f) ( p  r )  ( r  q ) F

Entonces concluimos que , p y q son verdaderos; r es falso SOLUCIÓN V.- Si ( p  q )  r es falso : ( p  q )  r v v  v  F F Entonces concluimos que , p y q son verdaderos; r es falso

La característica tabular de una fórmula lógica es la columna de valores de verdad debajo del operador de mayor jerarquía. Esta columna puede presentar los siguientes casos: 1.- Cuando todos los valores de verdad son verdaderos, el esquema es una TAUTOLOGÍA. 2.- Cuando todos los valores de verdad son falsos, el esquema es una CONTRADICCIÓN. 3.- Cuando algunos valores de verdad son verdaderos y otros falsos el esquema es una CONTINGENCIA.

EVALUACIÓN DE UNA FÓRMULA LÓGICA Ejemplo: Evaluar el siguiente esquema molecular: (p  q)  (p  r) Solución p q r ( p  q )   ( p   r) V V V V V V V V V F F V F V V F V V V V V V V V F V V F F V V F F F V F F V F F F V V V F F F F F V V V V F F F F V F F F V F F V V F F V F F F F F F V F F F F V F F F F F F V 6 5 1 3 2 8 7 4