LÓGICA PROPOSICIONAL
Proposición Una proposición es una sentencia (oración) correctamente formada que puede se le puede asignar un valor de verdad o falsedad. Es una sentencia declarativa. Representa un hecho de la realidad. Es una oración del lenguaje que consta de un sujeto y un predicado, Tiene un valor afirmativo. Nota: Las oraciones interrogativas, exclamativas, imperativas y los juicios de valor no afirman nada y no pueden ser considerados como enunciados.
Ejemplos Oraciones Luis y Martha van al cinema. Nueve más cinco es igual a diez. El autobús pasa a las seis Mañana lloverá. ¡Siéntate! ¿Cuándo sale el autobús? ¿Qué hora tienes? Pedro es buen alumno. La casa está pensando renunciar.
Símbolos Los símbolos usados en lógica proposicional son: Las constantes lógicas Verdadero y Falso. Los símbolos de proposiciones tales como p , q ; etc. Los conectivos lógicos , , , , ∆ , ~ Los y paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }. Todas las oraciones se forman combinando los símbolos anteriores mediante ciertas reglas. Un símbolo propositivo como p o q es una oración en sí misma.
Conectivos o conectores Lógicos Los conectivos o conectores lógicos son símbolos que permiten obtener nuevas proposiciones a partir de proposiciones simples, llamadas también proposiciones atómicas. Las proposiciones que se forman usando conectores lógicos se llaman proposiciones compuestas o moleculares.
Negación Se llama negación de una proposición p, a la proposición “no p”. Se denota por ~p, -p , ¬ p o p’. Observación: La proposición ~p es verdadera si p es falsa y, es falsa si p es verdadera. Tabla de verdad: p ~p V F Ejemplo: p: “2 + 2 = 5” ~p: “No es cierto que 2 + 2 = 5” ~p: “2 + 2 ≠ 5”
Conjunción Se llama conjunción de las proposiciones p y q a la proposición “p y q”; la cual se denota por p Λ q. La proposición p Λ q es verdadera sólo si p y q son verdaderas. En los demás casos es falsa. Tabla de verdad p q p Λ q V F
ejemplo: p: “El triángulo equilátero tiene los tres lados iguales” q: “El triángulo equilátero tiene los tres ángulos iguales” p Λ q: “El triángulo equilátero tiene los tres lados iguales y el triángulo equilátero tiene los tres ángulos iguales” En forma más sencilla la proposición p Λ q se enuncia: “El triángulo equilátero tiene sus tres lados y sus tres ángulos iguales”
Disyunción Se llama disyunción de las proposiciones p y q a la proposición p ó q; la cual se denota por p v q. La proposición p v q es verdadera sólo si al menos una de las proposiciones p ó q es verdadera y es falsa si ambas son falsas. Tabla de verdad p q p v q V F
ejemplo: p: “2 + 3 = 4” q: “2 + 3 = 5” p v q: “2 + 3 = 4 ó 2 + 3 = 5” NOTA: Se usa el o en el sentido inclusivo (cualquiera de los dos, o las dos preposiciones son válidas); lo cual hace que la frase anterior sea verdadera.
Disyunción Excluyente Se llama disyunción excluyente de las proposiciones p y q a la proposición “o p… o q”. Se denota como , ó p ∆ q . La proposición es falsa sólo si las proposiciones p y q tienen igual valor de verdad y es verdadera, en caso contrario. Tabla de verdad p q p ∆ q V F
ejemplo: p: “Me estas diciendo la verdad” ~p: “Me estás mintiendo” p ∆ ~p: “O me estás diciendo la verdad o me estás mintiendo” NOTA: Como se mencionaba anteriormente, esta “O … o …” se usa en el sentido excluyente, es decir se acepta uno de los valores; pero no ambos, lo que hace que la frase anterior sea verdadera (se puede verificar fácilmente mediante una tabla de verdad).
Condicional Se llama condicional de las proposiciones p y q a la proposición “Si p, entonces q”. La primera proposición se llama antecedente y la segunda consecuente. Se denota por p → q y se lee: “si p, entonces q” ó “p es condición suficiente para q” ó “q es condición necesaria para p”. La proposición p → q es falsa solamente si p es verdadera y q es falsa y es verdadera en cualquier otro caso.
Tabla de verdad ejemplo: p q p → q V F p: “El sistema solar está formado sólo por astros” q: “La tierra es un astro” p → q: “Si el sistema solar está formado sólo por astros, entonces la tierra es un astro” ejemplo:
Bicondicional p q p ↔ q V F Se llama bicondicional de las proposiciones p y q a la proposición “p si y sólo si q” ó “p es condición necesaria y suficiente para q”; la cual se denota por p ↔ q. La proposición p ↔ q es verdadera si ambas p y q son verdaderas o falsas a la vez, y es falsa en otros casos. Tabla de verdad p q p ↔ q V F
CUADRO RESUMEN P Q ~P P Q P Q P ∆ Q P Q P Q V F
ejercicios Formaliza las siguientes proposiciones: No es cierto que no me guste bailar Me gusta bailar y leer libros de ciencia-ficción. Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustaría acariciarlos. Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida extraterrestre. Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como nunca. Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy como una regadera y dejaría que me internaran en un hospital psiquiátrico. Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que ir a trabajar.
Ejercicios Formaliza la siguientes proposición: Mary puede escribir el programa en Inglés o en Alemán o puede no escribirlo. Si no escribe el programa sacará cero y reprobará el curso. Si reprueba el curso será puesta en el padrón de jalados y si se saca cero su novio la dejará. Si Mary escribe el programa en Inglés reprobará el curso pero si lo escribe en Pascal pasará. P: Mary escribe el programa en Inglés Q: Mary escribe el programa en Alemán R: Mary escribe el programa S: Mary saca un cero T: Mary reprueba el curso U: Mary es puesta en el padrón de jalados V: El novio de Mary la deja. (P v Q v ͂ R) Λ [ ͂ R(S Λ T)] Λ [(TU) Λ(SV)] Λ [(PT) Λ (Q ͂ T)]
Tablas de verdad ejemplo Usamos tablas de verdad para probar la validez o falsedad de una proposición. ejemplo Encuentra el valor de verdad del siguiente argumento: [(p q) p ] q p q p q ~P (p q) p [(p q) p] q V F
IMPORTANTE Si se verifica que una proposición contiene sólo valores de verdad; entonces se dice que la proposición es una tautología. Si se verifica que la proposición contiene sólo valores de falsedad; entonces se dice que la proposición es una contradicción. Si se verifica que una proposición contiene tanto valores de verdad como de falsedad; entonces se dice que la proposición es una contingencia. Nota: Entonces podemos afirmar que la proposición del ejemplo anterior se trata de una TAUTOLOGÍA.
solución [b me gusta bailar]. ¬(¬b) [b me gusta bailar. c me gusta leer libros de ciencia ficción]. b ∧ c [g los gatos de mi hermana sueltan pelo. a me gusta acariciar los gatos ]. ¬g→a [m ver un marciano con mis propios ojos. e creer en los extraterrestres ]: m ⇔ e [p salir a dar un paseo. e estudiar como nunca: p ∆ e [v los elefantes vuelan. t los elefantes tocan él acordeón. r estar loco. p internar en un hospital psiquiátrico ]: ( v V t ) → ( r ∧ p) [ v ir de vacaciones. n no hacer nada. t tener tiempo. s ir a trabajar]: (t ∧¬s ) →(v V n )