Transformada de Laplace y Teoría de Control

Transformada de Laplace: La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t ≥ 0 es la función F(s), definida por: siempre y cuando la integral esté definida. La Transformada de Laplace cumple una serie de propiedades: Linealidad Potencia n-ésima

Seno: Coseno: Seno hiperbólico: Coseno hiperbólico: Logaritmo neperiano: Raiz n-ésima: Derivación Integración

Pierre-Simon Laplace A continuación se presenta una tabla con las transformadas-antitransformadas mas comunes f(t) L {f(t)} = F(s) 1 A Ak/s 2 At A/s2 3 Atn An!/sn+1 4 Aeat A/ s-a 5 Asen wt Aw/ s2 + w2 6 Acos wt As/ s2 + w2 7 Asenh wt Aw/ s2 - w2 8 Acosh wt As/ s2 -w2 Laplace creó una curiosa fórmula para expresar la probabilidad de que el Sol saliera por el horizonte. Él decía que la probabilidad era de (d + 1) / (d + 2), donde d es el número de días que el sol ha salido en el pasado. Laplace decía que esta fórmula, que era conocida como la Regla de Sucesión de Laplace, podía aplicarse en todos los casos donde no sabemos nada, o donde lo que conocíamos fue cambiado por lo que no. Aún es usada como un estimador de la probabilidad de un evento, si sabemos el lugar del evento, pero sólo tenemos muy pocas muestras de él.

Transformada Z: De forma alternativa, en los casos en que x[n] está definida únicamente para n ≥ 0, la transformada Z unilateral de define como En el procesamiento de señales, se usa esta definición cuando la señal es causal. Por eso un ejemplo de la TZ es la función de generación de probabilidades, donde x[n] es la probabilidad que toma una variable discreta aleatoria en el instante n, y la función X(z) suele escribirse como X(s), ya que s = z−1. Las propiedades de las transformadas Z son útiles en la teoría de la probabilidad. La Transformada Z inversa se define donde es un círculo cerrado que envuelve el origen y la región de convergencia (ROC). El contorno, , debe contener todos los polos de . Un caso especial y simple de esta integral circular es que cuando es el círculo unidad obtenemos la transformada inversa de tiempo discreto de Fourier: _ La TZ con un rango finito de n y un número finito de z separadas de forma uniforme puede ser procesada de forma eficiente con el algoritmo de Bluestein. La transformada discreta de Fourier es un caso especial de la TZ, y se obtiene limitando z para que coincida con el círculo unidad.

3. Ejemplos de Control Resolución de circuitos eléctricos: Suponemos que v(t) es una función escalón:

Control de velocidad: Teniendo el sistema abajo descrito, Por medio de las ecuaciones de Newton hacemos suma de fuerzas en la masa: (Renombramos la v como y para no llevar a confusión)

Sustituyendo ahora V(s) por Y(s) obtenemos: A través de las propiedades y de las tablas de transformadas de Laplace , convertimos el sistema de ecuaciones diferenciales en un sistema geométrico de mayor sencillez: Sustituyendo ahora V(s) por Y(s) obtenemos: Despejando por último las variables conseguimos una fórmula mucho mas sencilla de calcular: La teoría de control comenzaría a trabajar ahora ya que podemos introducir el valor o tipo de función deseado de U(s) y obtener la función Y(s) necesaria para cumplir esa condición. Viceversa también funciona…¡Por Supuesto!

EJEMPLO NUMÉRICO: m = 1000kg b = 50Nsec/m u = 500N Se conoce que las condiciones iniciales son 0 U = 500, entonces (por la teoría de Laplace) : U(s) = 500/s Y la función Y(s) quedaría,tomando como 0 los valores iniciales: Y(S) = 500/s(1000s+50) Reduciendo la ecuación a dos funciones transformadas de Laplace, tenemos: Y(s) = 10/s – 10/(s+0.5) Y aplicando las anti-transformadas obtenemos: -0.5 t Y(t) = 10-10e Esta es la función de Y(t) para que U(t) pueda ser de 500 N

Control de Rumbo: Primero analizamos el sistema dado con las fuerzas y ángulos: Para simplificar el problema suponemos que el avión viaja a altitud y velocidad constante, esto es algo irreal por supuesto, pero nos ayuda a simplificar el problema en este ejemplo.

Entonces aplicando las ecuaciones se obtiene: Donde los parámetros que aparecen son los siguientes: α = ángulo de ataque q = inclinación = ángulo de inclinación = ángulo de deflación = densidad del aire S = área de la superficie de viento = longitud de la cuerda m = masa del avión U = velocidad de vuelo CT = coeficiente de impulsion CD = coeficiente de resistencia CL = coeficiente de sustentacion CW = coeficiente de peso CM = coeficiente de inclinación = ángulo de vuelo in = momento de inercia normalizado

Dejando solo las funciones dependientes del tiempo. Para facilitar el manejo de las ecuaciones vamos a introducir datos de los parámetros Obteniendo: Dejando solo las funciones dependientes del tiempo. Aplicando ahora la Transformada de Laplace al sistema, tomando las condiciones iniciales iguales a 0, nos encontramos con: Este sistema es mucho mas sencillo de resolver que el de arriba, por lo tanto aplicar Laplace ha sido una gran idea.

Si nuestro objetivo era encontrar la ecuación respecto al tiempo que debe de cumplir el ángulo de inclinación para conseguir un ángulo de deflación dado. Operando con el sistema podemos llegar a conseguir: Una vez obtenida esta ecuación es muy sencillo conocer el resultado buscado, simplemente introducimos la función transformada de ángulo deseado y despejamos la otra función. Y por anti-transformadas…YA ESTÁ,PROBLEMA RESUELTO!! EJEMPLO NUMÉRICO: Queremos conocer que función debe de cumplir el ángulo theta a través del tiempo para que el ángulo de deflación cumpla: (t) = t Por lo que su función transformada es: (s) = 1/s 2

Más ejemplos de aplicación de Laplace a la teoría de control en: Llevando esto a la ecuación que teníamos de antes y separándola en distintos sumandos para obtener formas de transformadas de Laplace y aplicar entonces las anti-transformadas, conseguimos está sencillez: Más ejemplos de aplicación de Laplace a la teoría de control en: http://www.engin.umich.edu/group/ctm (ejemplos de sistemas de control usando Laplace) ó http://chem.engr.utc.edu/Webres/Stations/controlslab.html (experimentos con sistemas de control)

4. Aplicaciones actuales del control Grandes estructuras espaciales. Es frecuente escuchar que el despliegue de una antena o telescopio en el espacio ha ocasionado algunos problemas técnicos, algunos de ellos sumamente costosos o incluso que han inutilizado completamente la estructura. Estos despliegues y acoplamientos de componentes deben basarse en el control. Robótica. Existe la importancia de desarrollar métodos eficientes de visión artificial, por ejemplo. Pero la Teoría del Control está también en el centro de gravedad en este campo. El desarrollo de la robótica depende de manera fundamental de la eficiencia y robustez de los algoritmos computacionales para el control de los robots. No resulta difícil imaginar la complejidad del proceso de control que hace que un robot camine y que lo haga de manera estable o sea capaz de coger con sus "manos" un objeto.

respecta a la modelización, al controly a los aspectos Control de Plasma. La obtención de reacciones de fusión controladas es uno de los mayores retos para resolver los problemas energéticos del planeta. En la actualidad, una de las vías más prometedoras es el de los tokomaks: máquinas en las que se confina el plasma mediante mecanismos electromagnéticos. El problema fundamental es mantener el plasma, de muy alta densidad, a una temperatura muy alta en la configuración deseada durante intervalos de tiempo prolongados a pesar de sus inestabilidades. Esto se realiza a través de sensores mediante los cuales se obtiene la información necesaria para efectuar cambios rápidos y precisos de las corrientes que han de compensar las perturbaciones del plasma. Control de la combustión. Se trata de un tema relevante en la industria aeronáutica y aeroespacial en las que se hace imprescindible controlar las inestabilidades en la combustion que, normalmente, viene acompañada de perturbaciones acústicas considerables. En el pasado se ha realizado el énfasis en los aspectos del diseño, modificando la geometría del sistema para interferir la interacción, combustión-acústica o incorporando elementos disipativos. El control activo de la combustión mediante mecanismos térmicos o acústicos, es un tema en el que casi todo está por explorar Control de Fluidos. Se trata de un problema con mucha importancia en aeronáutica puesto que la dinámica estructural del avión (en sus alas, por ejemplo) está acoplada con el flujo del aire en su entorno. Aunque en los aviones convencionales se puede en gran medida ignorar este acoplamiento, es probable que los aviones del futuro tengan que incorporar mecanismos de control para evitar la aparición de turbulencias en torno a las alas. Desde un punto de vista matemático casi todo está por hacer, tanto en lo que respecta a la modelización, al controly a los aspectos computacionales. Economía. Las Matemáticas están jugando hoy en día un papel activo en el mundo de las finanzas. En efecto, la utilización de modelos matemáticos para predecir las fluctuaciones de los mercados financieros es algo común (mucha gente sueña con predecir los movimientos en Bolsa y poder volverse un “poco” rico). Se trata frecuentemente de modelos estocásticos en los que la Teoría del Control ya existente puede ser de gran utilidad a la hora de diseñar estrategias óptimas de inversión y consumo.