Calcule, para cada caso, el número de movimientos necesarios para mover los discos de la torre donde se encuentren inicialmente hacia otra torre, tomando en cuenta que el juego posea 1 disco, 2 discos y 3 discos (cada caso por separado).
Analice los resultados del punto (1) e induzca una fórmula recursiva que le permita calcular el número de movimientos requeridos. Con esta fórmula, infiera el número de movimientos mínimos que necesitaría realizar una persona, sabiendo que el juego de las Torres de Hanoi dispone de 4 discos.
Induzca una fórmula explícita que le permita calcular, a partir del número de discos “n”, el número de movimientos mínimos requeridos para resolver el juego de las Torres de Hanoi.
Casos con: 1 disco, 2 discos, 3 discos, hasta 4 discos A1 = 1 A2 = 3 A3 = 7 A4 = 15 Tenemos la fórmula que permite calcular el número de movimientos posibles para n número de discos, basta con sustituir la n por el numero de discos...
Número de discos Número de Movimientos Resultado A12(A0) + 11 A22(A1) + 13 A32(A2) + 17 A42(A3) …. An2(An-1) + 1 Fórmula Recursiva.. La fórmula recursiva es 2(An-1) + 1. qd
A11 A232*1 + 1 A37(2 (2*1 + 1) ) + 1) = (2^2) * A415(2 ( (2^2) * ) ) + 1) = (2^3) *1 + (2^2) …. An2^ (n-1) + 2^(n-2) Fórmula Explícita Análisis hacia Adelante.. Deducimos que la formula explícita es: An = (2^n) - 1. qd
Demostración por Inducción a)Sea P(n) An = (2^n) – 1 Sabiendo 2(An-1) + 1 S = { n e N / P(n) sea verdadera } ¿P(1) e S? P(n) es An = (2^n) - 1 e Z An = (2^n) = (2^1) = 1 Por lo tanto 1 e S b) Suponemos para n= k, es decir: Ak = (2^k) - 1 c) Hqd para n= k+1 A(k+1) = 2^ (k+1) - 1 d) Tenemos An = 2(An-1) + 1 A(k+1) = 2(A(k+1) -1)) + 1 = 2 (Ak) + 1 = 2 ((2^k) - 1) + 1 = 2^(k+1) = 2^(k+1) qd S e N para n >= 1