La operación inversa de la derivación Antiderivadas La operación inversa de la derivación

Motivación Hemos visto que la derivada de la posición de una partícula es la velocidad. En los problemas de final de capítulo, también hemos visto que la derivada de la velocidad es la aceleración. De esa manera, conociendo la ley de la posición de la partícula, x(t), podemos obtener las leyes de la velocidad y de la aceleración: Podemos plantearnos el problema inverso. Si conocemos la ley de la velocidad de la partícula, v(t), ¿podemos obtener la de la posición? Y si conocemos la ley de la aceleración de la partícula, a(t), ¿podemos obtener las de la velocidad y la posición? La respuesta es que para lograrlo tendríamos que “deshacer” la operación de derivación. A eso se llama calcular una antiderivada.

Notación y nomenclatura Decimos que F es una antiderivada de f sobre un intervalo I si EJEMPLO Sea f(x) = x2. ¿Qué función, derivada, nos arroja esta función cuadrática? Sabemos que

OBSERVACIÓN La función propuesta no es la única posible antiderivada de f. Así: En general, podemos concluir que si F(x) es una antiderivada de f(x), cualquier función del tipo F(x) + C, con C una constante real, también será una antiderivada de f(x), puesto que la derivada de una constante es cero. Así, la expresión F(x) + C nos brinda la familia completa de antiderivadas de f(x).

Notación y nomenclatura Sea F una antiderivada de f sobre un intervalo I. Acabamos de ver que la expresión F(x) + C nos brinda la familia completa de antiderivadas de f(x). Habitualmente se usa la siguiente notación para dicha familia: El miembro izquierdo de esta igualdad se lee “integral de efe de equis diferencial de equis”, y se denomina integral indefinida de f. Un poco más adelante veremos en qué se inspira esta notación. De momento observemos que es útil. Así, por ejemplo, podemos escribir: Por otro lado, una antiderivada se denomina también primitiva de f, predominando una u otra nomenclatura dependiendo de los textos que se usen (la primera es típica de los libros estadounidenses, y la segunda de los textos franceses y argentinos).

Propiedades Las propiedades de las antiderivadas se pueden deducir de las de las derivadas, simplemente “revirtiendo” los procedimientos contenidos en estas últimas. Podemos así listar, entre otras:

Condiciones iniciales Hemos visto que si F(x) es una antiderivada de f(x), cualquier función del tipo F(x) + C, con C una constante real, también es una antiderivada de f(x). Esto es, si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas otras primitivas, que diferirán en el valor que le asignemos a la constante C. De todas esas primitivas, puede haber una que nos interese particularmente porque satisface condiciones impuestas por un problema particular. A estas las llamamos condiciones iniciales. EJEMPLO La velocidad de una partícula viene dada por v(t) = 5t2 + 2, donde t está en segundos y v en metros sobre segundos. Determinar x(t), la posición de la partícula, si inicialmente estaba en la posición x0 = 2.

Condiciones iniciales EJEMPLO La velocidad de una partícula viene dada por v(t) = 5t2 + 2, donde t está en segundos y v en metros sobre segundos. Determinar x(t), la posición de la partícula, si inicialmente estaba en la posición x0 = 2. SOLUCIÓN La velocidad es la derivada de la posición, así que la posición va a ser la antiderivada de la velocidad. x0 = 2 es la condición inicial, obtenida para t = 0. Así que