Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Tema 3. Preferencias y utilidad Indice 1) Motivación. Criterio EMV. Paradoja SP 2) Preferencias sobre loterías. Simples y compuestas 3) Teoría de la utilidad. Axiomas. Equivalencia estratégica 4) Construcción de modelos de preferencias. Funciones de utilidad. Sesgos. Paradoja de Allais. 5) Actitud frente al riesgo. Prima de riesgo. Aficción, aversión y neutralidad. Medida de Pratt. 6) Utilidad multiatributo. Independencia en utilidad, mutua independencia en utilidad, independencia aditiva. Exisistencia de utilidad aditiva y multiplicativa para dos atributos. Asignación multiatributo

Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Actitud frente al riesgo Muchos factores (nivel de riqueza, necesidades, aspiraciones, estado de ánimo,… Suponemos “más es mejor”, es decir, utilidades u’s crecientes 1)La forma de u representa la actitud frente al riesgo del decisor l = y C=p·a+(1-p)·b=EMV aversión neutro Aficción

Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Actitud frente al riesgo Neutro: l~C, elegimos con EMV (recta) Averso: C > l,  p·u(a)+(1-p)·u(b) < u(C) Aficcionado: l > C,  p·u(a) + (1-p)·u(b) > u(C) Prima al rieso de l es  = C-xs (xs equivalente en certidumbre) que es = 0, > 0, < 0 respectivamente

Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Actitud frente al riesgo 2) Comparar la actitud frente al riesgo de dos individuos: Mayor concavidad → mayor aversión?, No, u cóncava w=  u+  con  >1 es aún más cóncava y son estrategicamente equivalentes Aversion local al riesgo en x [Pratt’64] r(x) = -u’’/u’ No le afectan las transformaciones afines positivas. r(x) < 0 → aficción al riesgo r(x) = 0 → neutralidad al riesgo r(x) > 0 → aversión al riesgo r1(x) > r2(x),  x   1 >  2 (1º más averso que 2º), Teorema “Local”: r1(x)>r2(x) para a ≤ x ≤ b   1 >  2 para cada lotería con premios en el rango a ≤ x ≤ b El signo de r indica actitud

Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Actitud frente al riesgo Cambios en la actitud ante cambios en sus bienes: Individuo con riqueza s y funcion u1(·) s aumenta en t unidades s+t cambia a u2(·), (el valor del dinero cambia) Tomaríamos u2(x) = u1(x+t), recibir un premio de x euros después del El aumento de fortuna equivale a recibir x+t antes del aumento Supuesto r1(x) decreciente. Aumenta la riqueza en t unidades r2(x) = r1(x+t)  2 (por el teorema)  al enriquecerse reduce la aversión al riesgo (típico) u(x) = a+b·(exp(-cx)-kexp(lx), (b,c,k,l>0), r(x) decreciente u(x) = -exp(-cx), (c>0), constante u(x) = ax 2 +bx+c  creciente (apropiada?) Ajuste de parámetros

Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Utilidad biatributo Consecuencias = vector de niveles de atributos = (x,y) Capturar las interacciones entre atributos y las actitudes frente al riesgo marginales y conjuntas Suponemos u(x1,y1) = 1 y u(x0,y0) = 0 Asignación directa, por ejemplo con metodo equivalencia en probabilidad Buscar p /  u(xs,ys) = p….  Demasiados puntos a asignar, imposible en muchas dimensiones

Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Utilidad biatributo Facilitar la asignación buscando condiciones para tener formas funcionales de u separables: u(x,y) = f(ux(x),uy(y)) u(x,y) = c1 + c2·ux(x)+c3·uy(y)+c4·ux(x)·uy(y) Asignación individual más estructura de la agregación de utilidades Independencia preferencial: Y es peferencialmente independiente de X si las prefrencias por valores específicos de Y NO dependen del nivel del atributo X EJ: Y: duración de un proyecto, X: coste, Y: 5 días > Y: 10 días con coste 100, ó 200 ó…, sin importar el coste Mutua: además preferimos coste barato sin importar el tiempo Y No siempre se da: X: domicilio (x1:ciudad,x2:selva) preferen.independiente de Y: coche(y1:turismo,y2:4x4); Y no es preferencialmente independiente de X Esta condición no basta: no tiene en cuenta resultados inciertos

Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Utilidad biatributo Independencia en utilidad: (E independiente en utilidad de X  Y preferencialmente independiente de X) Y es independiente en utilidad de X si las preferencias por loterías con cambios En los valores de Y No dependen del nivel fijado del atributo X EJ: Y: duración de un proyecto, X: coste; (x,ys) ~  Ys sale el mismo independiente emnte del valor x de X Dependencia en utilidad: l1=, l2=, l3=, l4=, l1 >= l2  l3 >= l4 [X independiente e utilidad de Y], podría ser l2>=l1 y l3>=l4 Y independiente en utilidad de X  u(x0,·) y u(x,·) son estrategicamente equivalentes  u(x,y) =  (x) +  (x)·u(x0,y), con  (·) >  x,y

Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Utilidad biatributo x es preferencialmente independiente de y: se proponene comparaciones por pares con un atributo y el otro fijo (en el nivel de referencia o el nivel inferior)  Observamos si las prefrencias cambian al cambiar ese nivel  x es independiente en utilidad de y: idem, comparando loterías con premios del atributo X e Y independientes en utilidad mutuamente ( X i.u. Y e Y i.u. X)  u(x,y) = kx·ux(x) + ky·uy(y)+(1-kx-ky)·yx(x)·uy(y): función multineal u(x,y) = u(x,y0) + u(x0,y)+ k·u(x,y0)·u(x0,y), donde (i) ux(x) es una función de utilidad sobre X normalizada por ux(x0)=0 y ux(x1)=1 (ii) uy(y) es una función de utilidad sobre Y normalizada por uy(y0)=0 y uy(y1)=1 (iii) kx = u(x1,Y0) y (iv) ky = u(x0,y1)

Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Utilidad biatributo El producto ux·uy modeliza interacciones entre atributos Las funciones ux, uy son funciones de utilidad condicionadas, y se asignan con el otro atributo fijo en un cierto nivel  ) Tenemos i.u. por ejemplo Y de X u(x ,y)= kx·ux(x  ) + [ky+(i-kx-ky)·ux(x  )]·uy(y) u(x ,y)= kx·ux(x  ) + [ky+(i-kx-ky)·ux(x  )]·uy(y) La forma bilineal tiene una representación estrategicamente equivalente cuando k=/=0 u(x,y)= kx·ux(x) + ky·uy(y) + k·kx+ky·ux(x)·uy(y) 1+k·u(x,y) = [1+k·kx·ux(x)]·[1+k·ky·uy(y)], mutiplicativa, donde k=(1-kx-ky)/(kx+ky), que es la solución de 1+k=[1+k·kx]·[1+k·ky]

Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Utilidad biatributo Independencia aditiva X e Y son independientes aditivamente si  x, x’  X, y, y’  Y A= ~ B=, condición aditiva Al valorar resultados inciertos sobre ambos atributos, sólo hay que centrarse en un atributo cada vez, sin importar el valor del otro Mirando sólo un atributo: para X tenemos en ambas para x, x’ y para Y, para y, y’ (A=B) No se da siempre: compra coche, con x=servicio malo, x’ servicio excelente, y=poca fiabilidad, y’=mucha fiabilidad, pero B > A (atributos sustitutos)

Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Utilidad biatributo X, Y son independientes aditivamente u(x,y) = kx·ux(x)+(1-kx)·uy(y) u(x,y)= u(x,y0) + u(x0,y), con (i)-(iv) u(x,y)  sólo asignar ux,uy, kx Es un caso particular de multilineal Bajo independencia en utilidad mutua, para saber si es multiplicativa o aditiva y para algún x2, x3  X, y2, y3  Y / (x2,y2) ~/~ (x2,y3) y (x2,y2) ~/~ (x3,y3) ~ entonces u es aditiva, en otro caso es multiplicativa

Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Utilidad biatributo Cómo interpretar la interacción entre atributos, es decir, el término (1-kx-ky)·ux(x)·uy(y)? Si x > x’, y> y’ y las preferencias son crecientes en cada atributo (1-kx-ky) > 0  los atributos son complementarios  A > B en condiciones de aditividad Valores preferidos de X e Y dan valores altos de ux y uy, y u también. Van en la misma dirección; trabajan juntos para aumentar u EJ: dos frentes, derrota en uno o los dos; el éxito es la victoria en los dos (1-kx-ky) < 0  los atributos son sustitutos  A < B en condiciones de aditividad Valores preferidos de X e Y dan valores altos de ux y uy, pero resta en u. Los valores preferidos se oponen, la resta se minimiza pues la correlación es “-”. EJ: dos tiendas, éxito si al menos una tiene beneficios altos (1-kx-ky) = 0  no hay interacción  A ~ B en condiciones de aditividad

Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias EJEMPLO normalizadas, “más peor” u(x,y) = kx·ux(x)+ky·uy(y)+(1-kx-ky)·ux(x)·uy(y) ux(x)= ·(1-exp(x/7.692)) uy(y)= ·(1-exp(y/25)) kx=0.72, ky=0.13  1-kx-ky = 0.15, (kx+ky < 1), x e Y son complementarios

Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Tres atributos El caso más general frente al más restrictivo Multilineal: si X1, X2 y X3 son independientes en utilidad de sus complementarios u(x1,x2,x3) =  ki·ui(xi) +  (i<j) kij·ki·kj·ui(xi)·uj(xj) + k123·  ki·ui(xi) donde (i) ui(xi) es la función de utilidad normalizada ui(xi0)=0, ui(xi1)=1 (ii) ki =u(x10,…,xi1,…,xn0) (iii) kij =u(x10,…,xi1,…,xj1,…,xn0) -  ki (iv) kijl = …. -  ki -  kij La independencia en utilidad mutua: todo subconjunto es independiente en utilidad con su complementario Multiplicativa: si X1 es independiente en utilidad de {X1,X2}, y {X2,X3} y {X1,X3} son preferencialmente independientes de X3 y X2, respectivamente  Todos son independientes en utilidad mutuamente

Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Tres atributos u(x1,x2,x3) =  ki·ui(xi) + k·  (i<j) ki·kj·ui(xi)·uj(xj) + k 2 ·  ki·ui(xi) Si  ki  1  k  0, i+k·u(x1,x2,x3) =  (1+k·ki·u(xi)), -1 < k <  (i), (ii) (iii) k es solución de la ecuación 1+ k =  (1+k·ki) Si  ki = 1  k = 0, aditiva Si  ki > 1  -1 < k < 0, multiplicativa (raiz, cálculo numérico) Si  ki > 1  -1 0, multiplicativa

Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Tres atributos Aditiva: X1, X2 y X3 son independientes aditivamente (es decir, las preferencias sobre loterías en X,1 X2, y X3 dependen sólo de sus distribuciones de probabilidad marginales y no de su distribución de probabilidad conjunta  u(x1,x2,x3) =  ki·ui(xi) donde, idem (i), (ii) Bajo independencia en utilidad mutua, para saber si multiplicativa o aditiva y para algún x’1, x’’1  X1, x’2, x’’2  X2 y x3* fijo: ~ Entonces u es aditiva, y multiplicativa en otro caso.

Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Resumen Algún atributo Xj es independiente en utilidad del complementario y {Xj, Xi} es preferencialmente independendiente del complementario  i? Todos independientes en utilidad muamente. SI: Los atributos son aditivamente independientes? SI: AditivaNO: Multiplicativa NO: Cada atributo Xi es independiente en utilidad del complementario? Si: MultilinealNO: Otras formas

Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Asignación de utilidad multiatributo (5 pasos) 1.- Introducir terminología e ideas, para familiriazar al decisor: Identificar objetivos y atributos (árbol) y consecuencias a considerar, rango y escala de cada atributo y dirección de incremento de preferencia en cada uno 2.- Comprobar condiciones de independencia relevantes: independencia aditiva, independencia en utilidad,… para saber el tipo de función de utilitidad multiatributo (aditiva, multiplicativa, multilineal) 3.- Asignar funciones de utilidad componentes ui

Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Asignación de utilidad multiatributo 4.- Asignar pesos o factores de escala: establecer tantas relaciones de indiferencia entre pares de alternativas como constantes haya: (supuesto aditiva o multiplicativa) preguntar por pi al decisor ~, xi un valor cualquiera pi·u(xi1)+(1-pi)·u(xi0) = u(x10,…,xi,…,xn0)  ki = pi/u(xi), Si xi=xi1  pi=ki, Si xi y xj / ~  ki·ui(xi) = kj·uji(xj) 5.- Chequeo de la consistencia, para detectar errores en u (no representa sus preferencias al contrastar con ejemplos hipóteticos). En general: ¿l~l’?  comprobar Eu[l] > Eu[l’] Si no, repetir proceso de asignación para obtener preferencias consistentes

Sistemas de ayuda a la decisión Modelización de las Preferencias Y en otros casos… Asignación directa Transformar atributos desde los originales, para tener independencia X,Y no son independientes Defino S=X+Y, T=X-Y, que son independientes aditivamente con u(s,t)=s 2 +t  u*(x,y) = u(s(x,y),t(x,y)) = (x+y) 2 +(x-y) = x 2 +y 2 +2·x·y-x-y Usar ideas anteriores en las áreas en que si se tengan las condiciones de independencia ajustando escalas y origen Considerar condiciones de dependencia (Farquhar y Fishburn) Usar hipótesis más complicadas que implican utilidades más generales