Álgebra de Boole

Álgebra de Boole Definición axiomática El álgebra de Boole es un Sistema Matemático consistente en un conjunto de elementos (B) y dos operaciones matemáticas (+ y  ) que cumple los siguientes postulados: Postulados de Huntington p1: Postulado del cierre: Si x, y  B (a) x + y  B (b) x  y  B p2 : Postulado de los elementos de identidad: para x  B (a)  un elemento de identidad con respecto al operador + denominado elemento nulo es designado por el símbolo 0 y cumple: x + 0 = 0 + x = x (b)  un elemento de identidad con respecto al operador  denominado elemento unidad es designado por el símbolo 1 y cumple : x1 = 1x = x Gemma Sánchez Antón

Álgebra de Boole Definición axiomática p3 : Propiedad conmutativa:  x,y  B (a) x+y = y+x (b) xy = yx p4 : Propiedad distributiva:  x,y,z  B (a) x(y+z) = xy + xz (b) x+(yz) = (x+y)  (x+z) p5 : Axiomas del complemento:  x B  x’  B que cumple: (a) x + x’ = 1 (b) x  x’ = 0 p6 : Existen al menos dos elementos x, y  B / x ≠ y

Álgebra de Boole Convenciones - La representación del operador  puede omitirse: a  b también puede representarse como ab - El operador  tiene precedencia respecto al + (a  b) + (c  d)  ab +cd

Álgebra de Boole. Teoremas. T0: Principio de dualidad: cada teorema deducible de los postulados de un álgebra booleana puede transformarse en un segundo teorema válido sin más que intercambiar las operaciones + y  entre sí, así como los elementos 0 y 1. T1 : Teorema de idempotencia (a) x + x = x (b) x · x = x (b es la dual de a) T2 : Teorema de los elementos dominantes (a) x + 1 = 1 (b) x · 0 = 0 (b es la dual de a)

Álgebra de Boole. Teoremas. T3 : Ley involutiva (x’)’ = x T4 : Teorema de absorción (a) x + xy = x (b) x · (x+y) = x T5 : Teorema del consenso (a) x + (x’y) = x+y (b) x · (x’+y) = xy

Álgebra de Boole. Teoremas. T3 : Ley involutiva (x’)’ = x T4 : Teorema de absorción (a) x + xy = x (b) x · (x+y) = x T5 : Teorema del consenso (a) x + (x’y) = x+y Dem: x + x’y = <distrib> (x + x’) · (x + y) = <complement> 1 · (x + y) = <ident> x + y (b) x · (x’+y) = xy

Álgebra de Boole. Teoremas. Teorema del consenso generalizado (a) xy + x’z + yz = xy + x’z Dem: xy + x’z + yz = <elemento unidad> xy + x’z + yz1 = <complemento> xy + x’z + yz(x + x’) = <distributiva> xy + x’z + xyz + x’yz = <conmutativa> xy + xyz + x’z + x’yz = <absorción> xy + x’z (b) x · (x’+y) = xy

Álgebra de Boole. Teoremas. T6 : Teorema asociativo (a) x+(y+z)= (x+y)+z (b) x(yz)=(xy) z T7 : Leyes de DeMorgan (a) (x+y)’ = x’y’ (b) (xy)’ = x’ + y’

Álgebra de Boole. Teoremas. Ley de DeMorgan generalizada

Álgebra de Conmutación

Álgebra de Conmutación Nuestro objetivo es establecer una relación entre el álgebra de Boole y los circuitos. Para ello introduciremos un tipo particular del álgebra de Boole denominada álgebra de conmutación. En este álgebra: B={0,1} En este álgebra se cumplen los postulados y teoremas descritos anteriormente