Homotecia y Teorema de Euclides PPTCEG043EM32-A16V1 EM-32 Homotecia y Teorema de Euclides

Resumen de la clase anterior Recordemos… ¿En qué consiste una división exterior de un segmento? Si tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos rectas transversales, ¿cómo son los segmentos determinados por las paralelas?

Aprendizajes esperados Describir la homotecia de figuras planas mediante el producto de un vector y un escalar, visualizando las relaciones que se producen al desplazar figuras homotéticas en el plano. Aplicar la noción de semejanza a la homotecia de figuras planas. Aplicar el teorema de Euclides en el triángulo rectángulo en la resolución de ejercicios. Analizar la proporcionalidad de trazos en el triángulo rectángulo y la semejanza de triángulos en el triángulo rectángulo. Analizar la demostración del teorema de Euclides y su relación con el teorema de Pitágoras y el recíproco del teorema de Pitágoras.

Pregunta oficial PSU Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2015. En la figura 9 se muestran dos homotecias: una de centro O y razón de homotecia 2 que transforma a ABCD en PQRS y la otra de centro O y razón de homotecia 0,5 que transforma a ABCD en EFGH. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? Si BQ es igual a 5 cm, entonces BF es igual a 2,5 cm. II) OH = SH III) A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III ¿Qué relación existe entre los tres polígonos? ¿Qué teorema podemos utilizar en segmentos entre paralelas?

Homotecia 2. Teorema de Euclides

Permite obtener un polígono semejante 1. Homotecia 1.1 Definición Es una transformación geométrica que afecta a las longitudes de una figura en función de una determinada razón k y un punto fijo O llamado centro de homotecia. El triángulo ABC se transforma en el triángulo A’B’C’ mediante una homotecia de centro O. C´ A´ B´ C A B O Permite obtener un polígono semejante

1. Homotecia 1.2 Casos Al triángulo ABC se le aplica una homotecia de centro O y razón k, transformándose en el triángulo DEF. O F D E C A B Si k > 1, entonces todas las longitudes se multiplican por k O C A B F D E Si 0 < k < 1, entonces todas las longitudes se multiplican por k y son menores en relación al triángulo ABC.

1. Homotecia 1.2 Casos Si k < 0, la homotecia tiene un efecto simétrico respecto al centro O, en razón |k|. Si k < − 1, entonces todas las longitudes se multiplican por |k| y son mayores en relación al triángulo ABC Si − 1 < k < 0, entonces todas las longitudes se multiplican por |k| y son menores en relación al triángulo ABC Si k = − 1, entonces todas las longitudes se mantienen, obteniendo un triángulo DEF congruente a ABC. A B C F D E O A B C D E O F A B C F D E O

Más información en las páginas 93 y 94 de tu libro. 1. Homotecia 1.3 Ejemplo Si en el gráfico de la figura, el Δ DEF es el homotético del Δ ABC con centro de homotecia el punto (4, – 1), ¿cuál es la razón de homotecia? A) 1 : 2 B) : 1 C) 1 : 1 D) 1 : E) No se puede determinar. Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2016. Más información en las páginas 93 y 94 de tu libro. ALTERNATIVA CORRECTA A ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 2 y 5 de tu guía.

2. Teorema de Euclides 2.1 Relaciones métricas Sea ABC un triángulo rectángulo en C, y CD = hc, la altura sobre la hipotenusa, entonces se cumple que el producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa es igual a la altura (hc) al cuadrado. ∙ hc2 = p q Estas relaciones métricas se pueden obtener a partir de la relación de semejanza que hay entre los triángulos ACD, CBD y ABC Además, se cumple que: a2 = c q ∙ hc c = a·b b2 = c p ∙

Más información en las páginas 98 y 99 de tu libro. 2. Teorema de Euclides 2.2 Ejemplo En un triángulo ABC rectángulo en C cuya hipotenusa mide p, la medida de la proyección de un cateto sobre ella es m. ¿Cuál de las siguientes expresiones siempre representa al cuadrado de la medida del otro cateto? pm p2 – m2 (p – m) 2 (pm) 2 p2 – pm. Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2015. Más información en las páginas 98 y 99 de tu libro. ALTERNATIVA CORRECTA E ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 11 y 20 de tu guía.

Pregunta oficial PSU Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2015. En la figura 9 se muestran dos homotecias: una de centro O y razón de homotecia 2 que transforma a ABCD en PQRS y la otra de centro O y razón de homotecia 0,5 que transforma a ABCD en EFGH. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? Si BQ es igual a 5 cm, entonces BF es igual a 2,5 cm. II) OH = SH III) A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III ALTERNATIVA CORRECTA E

Síntesis de la clase Recordemos… Si a una figura se le aplica una homotecia, ¿qué tiene en común con la figura resultante? ¿Qué condiciones deben existir para aplicar el teorema de Euclides?

Prepara tu próxima clase En la próxima sesión estudiaremos Teoremas de proporcionalidad en la circunferencia

Geometría de proporción Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 1 C Geometría analítica Comprensión 2 B ASE 3 E 4 5 A Aplicación 6 Geometría de proporción 7 8 9 10 11 12 D

Geometría de proporción Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 13 E Geometría de proporción Aplicación 14 D 15 16 A 17 ASE 18 19 20 21 22 23 C 24 25

Equipo Editorial Matemática ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL. Propiedad Intelectual Cpech RDA: 186414

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