Límites y continuidad
Funciones continuas. Tipos de discontinuidad Continuidad Definición: Una función es continua en un punto x=a si se cumplen las tres condiciones siguientes: 1) existe el límite de f(x) cuando x tiende a a (es un nº) 2) existe f(a) 3) ambos valores coinciden Si una función no es continua en un punto, diremos que es discontinua en dicho punto. f(x)=x ¿es continua en x=2? Por tanto, f(x) es continua en x=2 ¿es continua en x=3? No porque no existe f(3). Pero será continua en todos los demás puntos Ejemplos:
Tipos de discontinuidad Si hacemos la representación gráfica de una función vemos claramente en qué puntos es continua o discontinua. Si para trazar la función no es necesario levantar el lápiz (o el bolígrafo) del papel, será continua. En el punto donde se produce una interrupción habrá una discontinuidad.
Las discontinuidades se pueden clasificar según la parte que no se cumpla de la definición: si existe el límite pero no coincide con la imagen (o la imagen no existe) diremos que es una discontinuidad evitable f(1)=5 No existe f(1) Diremos que la función f presenta una discontinuidad evitable en x=1
si existen los límite laterales (números) pero no coinciden, diremos que se trata de una discontinuidad de salto. Diremos que la función f presenta una discontinuidad de salto en x=1. Suelen ser funciones definidas a trozos
si alguno de los límites laterales (o ambos) no existen (son infinitos) diremos que es una discontinuidad de 2ª especie. En x=2, f presenta una discontinuidad de 2ª especie En x=-1, f presenta una discontinuidad de 2ª especie En ambos casos, hay una asíntota vertical: la recta x=2 y x=-1 respectivamente
Estudia la continuidad de las siguientes funciones. Dí el tipo de discontinuidad calculando los límites necesarios