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2 Alfredo Chacon Rosas

3 Deja que la levadura de la verdad que el Espíritu Santo ha puesto dentro de ti engrandezcan tu alma “a la medida de la estatura de la plenitud de Cristo” (Efe. 4: 13)

4 Tema: Valora aprendizajes desarrollados en el área como parte de su proceso formativo. Actitud:

Multiplicación Es una operación que tiene por objeto hallar una expresión llamada producto(P) cuando se tiene otras dos denominadas multiplicando(M) y multiplicador(m). (M).(m) = P 5

Multiplicación de una constante por un monomio El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número. a)(5) ·( 2x 2 y 3 z) = 10x 2 y 3 z b)(-5) ·(-2x 2 y 3 z) = 10x 2 y 3 z c)(5) ·(-2x 2 y 3 z) = -10x 2 y 3 z d)(-5) ·(2x 2 y 3 z) = -10x 2 y 3 z e)(-12) ·(5x 2 y 3 z) =-60x 2 y 3 z 6

¿Ojo, ojito, pestaña y ceja! 7 Vamos multiplicar: (-5) ·(-2x 2 y 3 z) -5 -2x 2 y 3 z =. 10 ¡Bravo; ya se! Se multiplican los coeficientes, y al resultado se acompaña la misma parte literal.

Multiplicación de monomios La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma base. a) (ax n )·(bx m )= (a·b)x n +m b) (5x 2 y 3 z 3 )·(2y 2 z 2) =10x 2 y 5 z 5 c) (-5x 2 y 3 z 3 )·(-2y 2 z 2) =10x 2 y 5 z 5 d) (5x 2 y 3 z 3 )·(-2y 2 z 2) =-10x 2 y 5 z 5 e) (-5x 2 y 3 z 3 )·(2y 2 z 2) =-10x 2 y 5 z 5 8

9 ¿Ojo, ojito, pestaña y ceja! Vamos multiplicar: (5x 2 y 3 z 4 )·(-2y 2 z 3 ) = ? 5 -2x2x2 =. -10 ¡Bravo; ya se! Se multiplican los coeficientes, y se multiplican las partes literales. x2x2 y3y3 y2y2 y5y5 z4z4 z3z3 z7z7

10 Multiplicación de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. a) 3x 2 ·(2x 3 -3x 2 +4x-2) = 6x 5 - 9x x 3 - 6x 2

11 ¿Ojo, ojito, pestaña y ceja! Vamos multiplicar: 3x 2 ·(2x 3 -3x 2 -4) = ? (3x2(3x2 =6x5=6x5 ¡Bravo; ya se! Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio. (3x2)(3x2)(-3x 2 ) -9x4-9x4.2x3).2x3) (3x2)(3x2)(-4) -12x 2

12 Actividad de clase: Desarrolla en tu cuaderno los ejercicios propuestos en el organizador en las páginas 102 y 103 (del 1 al 20)

13 Multiplicación de polinomios P(x) = 2x Q(x) = 2x 3 - 3x 2 + 4x Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio. P(x) · Q(x) = (2x 2 - 3) · (2x 3 - 3x 2 + 4x) = = 4x 5 − 6x 4 + 8x 3 − 6x 3 + 9x 2 − 12x = Se suman los monomios del mismo grado. = 4x 5 − 6x 4 + 2x 3 + 9x 2 − 12x Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

14 2x 3 - 3x 2 + 4x 2x 2 + 0x - 3 4x 5 − 6x 4 + 8x 3 0x 4 + 0x 3 + 0x 2 − 6x 3 + 9x 2 − 12x 4x 5 − 6x 4 + 2x 3 + 9x 2 − 12x 1.Multiplicar los polinomios: (2x 3 - 3x 2 + 4x)(2x 2 + 0x - 3) Resolución:

15 2x 3 - 3x 2 + 4x + 5 3x 2 + x - 3 6x 5 − 9x x x 2 2x 4 − 3x 3 + 4x 2 + 5x − 6x 3 + 9x 2 − 12x -15 6x 5 − 7x 4 + 3x x 2 − 7x -15 Resolución: 2. Multiplicar los polinomios: (2x 3 - 3x 2 + 4x + 5)(3x 2 + x - 3)

16 3. Multiplicar los polinomios: a)(3x + 4)(2x + 3) b)(x + 4)(x - 3) c)(2x + 7)(5x 4) d)(3x - 4)(3x -5) e)(x - 7)(x - 6) f)(4x -8)(5x + 2) g)(x - 11)(x + 13) h)(5x + 3)(4x - 7) i)(8x + 1)(5x - 1) j)(2x + 5)(2x -5)

17 RESULTADOS a)(2x 2 + 0x - 3) b)(2x 2 + 0x - 3) c)(2x 2 + 0x - 3) d)(2x 2 + 0x - 3) e)(2x 2 + 0x - 3) f)(2x 2 + 0x - 3) g)(2x 2 + 0x - 3) h)(2x 2 + 0x - 3) i)(2x 2 + 0x - 3) j)(2x 2 + 0x - 3)

Multiplicación Algebraica Productos Notables 18

MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA: Definición: Es una operación que tiene por objeto hallar una expresión llamada producto cuando se tienen otras dos denominadas multiplicando y multiplicador, a los que se nombra también como factores. 19

Multiplicando (M (x) ) Multiplicador (m (x) ) Producto P (x) = x MultiplicaciónResultado Factores 20

Observemos las siguientes figuras: TEOREMAS FUNDAMENTALES DEMOSTRANDO LOS: 21

Área Total = (a + b) 2 (a+b) 2 Es un cuadrado de lado (a + b), hacemos 2 cortes imaginarios tal que se forman 2 cuadrados (lados a y b) y 2 rectángulos. Área Total = (a + b) 2 ¡Interesante Verdad! EL CUADRADO DE UN BINOMIO SUMA a2a2 b2b2 ab (a + b) 2 = a 2 + b 2 + ab + ab 22

Ahora es un cuadrado de lado “a” y hacemos nuevamente 2 cortes imaginarios tal que se forman 2 cuadrados (lados “b” y “a - b”) y 2 rectángulos. a2a2 (a-b) 2 b2b2 b(a-b) = (a-b) 2 +b(a-b)+b(a-b)+b 2 =a

(a-b) 2 +b(a-b)+b(a-b)+b 2 =a 2 EL CUADRADO DE UN BINOMIO DIFERENCIA (a-b) 2 +ab-b 2 +ab-b 2 +b 2 =a 2 (a-b) 2 =-ab+b 2 -ab+a 2 (a-b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 ¡Bravo Muy bien! 24

Otra vez hacemos el par de cortes imaginarios y obtenemos lo siguiente: a2a2 b2b2 b(a-b) a(a-b) - =+ 25

Extrayendo factor común obtenemos: DIFERENCIA DE CUADRADOS: Expresando simbólicamente tenemos: 26

El cuadrado de un binomio suma: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 El cuadrado de un binomio diferencia: (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 Diferencia de cuadrados: (a + b) (a - b) = a 2 - b 2 RECORDANDO LOS TEOREMAS FUNDAMENTALES 27

Trinomio Cuadrado Perfecto: Identidades de Legendre: TEOREMAS FUNDAMENTALES Demostración: 28

Diferencia de Cuadrados: El cubo de un binomio suma: El cubo de un binomio diferencia: TEOREMAS FUNDAMENTALES Suma de Cubos: Diferencia de Cubos: Identidad de Stevin 29

Practiquemos: 01. Dada las proposiciones: Respuesta: Cinco proposiciones verdaderas Solución: I)(x + 11) 2 = x x II)(3a - 1) 2 = 9a 2 – 6a + 1 III)(5n + 2) (5n - 2) = 25n 2 – 4 IV)(m + 3) 2 - (m + 3) 2 = 12m V) (x + 11) 2 = x 2 + 2(x)(11) =x x (3a - 1) 2 = (3a)2 – 2(3a)(1) = 9a 2 – 6a + 1 (5n + 2) (5n - 2) = (5n) 2 -(2) 2 = 25n 2 – 4 (m + 3) 2 - (m + 3) 2 = 4(m)(3) = 12m (v) (v) (v) (v) (v) 30

Solución: (x + y) 2 +(x - y) 2 = 2(x 2 + y 2 ) (x + y) (x - y) = x 2 - y 2 A = Columna A:Columna B: El equivalente de: = 4 B = 4 Respuesta: A es igual que B 31

03. Calcular el valor de: Para x = 79/6 Solución: Respuesta: A = 80 32

04. Si: x = 2x. Calcular: Solución: De la condición: x = 2x se despeja que x 2 - 2x = Respuesta: E = 51 33

05. Mostrar el equivalente de: Solución: a aT. C. P (a + 4) 2 Reemplazando: a = x 2 + 6x Respuesta: A = (x + 5) (x + 1) 34

06. Relacione correctamente: I)m 3 + n 3 II)(m – n) 3 III)(m + n) 3 IV)m 3 - n 3 A. (m-n)(m 2 +mn+ n 2 ) B. m 3 + n 3 +3mn(m + n) C. (m+n)(m 2 -mn+ n 2 ) D. m 3 - n 3 -3mn(m - n) Solución: Respuesta: IC; 2D; 3B; 4A 35

07. Sabiendo que: Solución: De la condición se obtiene que: a 2 + b 2 = 4ab y sustituyendo en la pregunta tenemos: Respuesta: A = 2 36

08. Sabiendo que x 2 = 5x + 1; calcular: Solución: Respuesta: A = 140 Lo que nos piden es una diferencia de cubos: De la condición obtenemos: Calculando A: 37

El Cuadrado de un trinomio: El Cubo de un trinomio: Identidad de Argand: Identidad de Gauss: 38

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