UNIDAD 4 E STRUCTURAS ALGEBRAICAS M.C. Meliza Contreras González

ALGEBRA BOOLEANA El Algebra de Boole es una herramienta matemática que permite modelar los llamados sistemas digitales. Fue desarrollada por el matemático inglés George Boole(1815). El Algebra de Boole es un sistema matemático cerrado que consiste en un conjunto P de dos o más elementos y dos operaciones: OR(+) y AND(.)

Á LGEBRA B OOLEANA En el Álgebra Booleana las operaciones se realizarán mediante relaciones lógicas, lo que en el álgebra convencional son las sumas y multiplicaciones. Las variables con las que opera son las binarias 1 y 0 (verdadero o falso). Los signos 1 y 0 no expresan cantidades, sino estados de las variables. Podemos decir, que el sistema de numeración binario y el álgebra de Boole constituyen la base matemática para el diseño y construcción de sistemas digitales.

P ROPIEDADES DEL Á LGEBRA DE B OOLE Las operaciones del Álgebra de Boole son: Conmutativas. a + b = b + a a. b = b. a Identidad o existencia de neutros 0 + a = a 1. a = a Asociatividad: a + (b + c) = (a+ b )+ c a. (b. c) = (a.b). z Distributiva respecto de la otra: a. (b + c) = a. b + a. c a + b. c = (a + b). (a + c) Complemento a+a’=1 a.a’=0

T EOREMAS DEL Á LGEBRA B OOLEANA NúmeroTeoremaDUAL 1.0.A=01+A=1 2.1A=A0+A=A 3.A.A=AA+A=A 4.A.A’=0A+A’=1 5.A.B=B.AA+B=B+A 6.A.B.C=A.(B.C) 7.(A.B…Z)’=A’+B’+…Z’(A+B+…+Z)’=A’.B’.…Z’ 8.A.B+A.C=A.(B+C)(A+B).(A+C)=A+(B.C) 9.A.B+A.B’=A(A+B).(A+B’)=A 10.A+A.B=AA.(A+B)=A 11.A+A’.B=A+BA.(A’+B)=AB 12.C.A+C.A’.B=C.A+CB(C+A).(C+A’+B)=(C+A).(C+B) 13.A.B+A’.C+B.C=A.B+A’.C(A+B).(A’+C).(B+C)=(A+B).(A’+C)

F UNCIÓN B OOLEANA Se define Función Lógica(Booleana) a toda variable binaria cuyo valor depende de una expresión formada por otras variables binarias relacionadas mediante los signos + y. Por ejemplo: S=(a.b)+b.c Siendo S la función, mientras que a, b y c son las variables. Esta función la leeríamos de la siguiente forma: si a y b o b y c son verdaderas(1) la función lógica S es verdadera(1). Funciones básicas Unión (OR), es decir a+b Intersección (AND), es decir a.b Negación (Not), es decir a’

E JEMPLO DE FUNCIÓN BOOLEANA Supongamos que una industria refresquera desea un sistema automático que saque de la banda de transportación un refresco que no cumple con los requisitos mínimos de calidad, para eso coloca 4 sensores A,B,C,D y F representa al sistema que sacará el refresco. La función equivalente a la tabla es: F=A’B’C’D+A’B’CD+AB’C’D+AB’CD’+AB’CD Eso implica que para cualquiera de estas combinaciones F=1 indica que el refresco debe salir de la cinta. A=0, B=0,C=0,D=1 A=0, B=0,C=1,D=1 A=1, B=0,C=0,D=1 A=1, B=0,C=1,D=0 A=1, B=0,C=1,D=1 ABCDF

Cuando se plantea un problema, en general la expresión booleana obtenida no necesariamente es la óptima. Esta expresión puede ser simplificada mediante los teoremas del álgebra booleana. Ejemplo 1: Simplificar F=A’B+(ABC)’+C(B’+A) = A’B+A’+B’+C’+C(B’+A) (7ª) = A’B+A’+B’+C’+CB’+CA (8ª) = A’B+A’+B’+CB’+C’+CA (5ª) = A’(B+1)+B’(1+C)+C’+CA (8ª) = A’1+B’1+C’+CA (1ª) = A’+B’+C’+CA (2ª) = A’+B’+C’+A (11ª) = (A’+A)+B’+C’ (5ª) = (1+B’)+C’ (4ª) = (1+C’) (1ª) 1 (1ª) S IMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES BOOLEANAS

Ejemplo 2: Simplificar F=Z’X+XY’Z+X’Z’W = Z’X+XY’Z+X’Z’W = Z’(X+X’W)+XY’Z(8ª) = Z’(X+W)+XY’Z (11ª) = Z’X+Z’W+XY’Z (8ª) = X(ZY’+Z’)+Z’W (8ª) = X(Y’+Z’)+Z’W (11ª) = XY’+XZ’+Z’W (8ª) S IMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES BOOLEANAS

CIRCUITOS LOGICOS Debido a que una proposición puede ser evaluada y resultar solo verdadera o falsa, se puede deducir alguna equivalencia con el álgebra booleana, que maneja solamente dos valores (0 y 1). Las propiedades del cálculo proposicional son equivalentes a las del álgebra desarrollada por Boole. En el álgebra booleana, una proposición es equivalente a una variable, y los conectivos lógicos se utilizan como compuertas lógicas que son una forma alternativa de representar funciones booleanas. Las compuertas lógicas se construyen físicamente con electrónica integrada en sustratos de silicio. El éxito de los sistemas digitales se debe al bajo costo por compuerta. Los esquemas que resultan de aplicar las compuertas lógicas se conocen como circuitos lógicos.

E JEMPLO DE COMPUERTAS LÓGICAS F(A,B,C,D)=A*C’ + A*B’*C + A’B*C*D’