Por : Cristian Camilo Segura Pinzón Código : GR12NL28 Carga y Descarga de un Condensador

Los Circuitos RC son los que involucran Resistencias y Condensadores, por la intervención de estos se dice que la corriente no es estacionaria, sino que varia con el tiempo. Las cargas son almacenadas en el condensador, por medio de conexión de un fuente y son descargadas en el momento de cerrar el circuito. Gracias a las leyes que Kircchoff, podemos relacionar la intensidad de corriente con el número de cargas que transitan en función del tiempo. Y podemos hallar ecuaciones del proceso de descarga y Carga de un Condensador. GR12NL28

Supongamos un Circuito como el de la figura1, con una carga inicial Q 0 en el condensador, se conecta a una resistencia R y a un interruptor S abierto en el instante t = 0; el potencial eléctrico en dicho instante será: V 0 = Q 0 /C. (Ec.1) Fig1: Circuito RC conectado en serie En ese mismo momento, por la ley de Ohm, la corriente inicial será: I 0 = V 0 /R = Q 0 /CR (Ec.2) Como todos ya sabemos la corriente es la cantidad de carga que fluye a través del tiempo; en este proceso de descarga la corriente disminuirá, por ello: I= -dQ / dt (Ec.3) GR12NL28 practicas/FU2/Descarga%20de%20un%20condensador.%20LP.pdf

Simplificando la Ecuación 2 (Ec.2) obtenemos: Q/C – IR = 0 (Ec.4) donde IR es el potencial de caída en la resistencia y Q/C el aumento entre las placas del condensador. Sustituyendo la corriente obtenida en la ecuación 3 (Ec.3) en la Ecuación 2 (Ec.2), donde Q e I son función del tiempo obtenemos: Q/C = - (dQ*R)/dt) - dt/RC = dQ/Q (Ec.5) La Ec.5 es una ecuación diferencial de variables separables, donde RC son constantes, t y Q son variables, al solucionar dicha ecuación obtenemos: Ln(Q) = -t/RC + Cte (Ec.6) Despejamos Q elevando exp por toda la Ec.6, de la siguiente forma: Q(t)=exp (-t/RC + Cte) GR12NL28

Usando los valores iníciales en la ecuación anterior obtenemos Q(0) = exp cte = Q 0, lo que indica que Cte = ln(Q 0 ), por ello la ecuación anterior es igual a: Q(t)=exp (-t/RC + ln(Q0)) Q(t)=Q 0 exp (-t/ τ ) (Ec.7) Donde τ = RC que tiene unidades de tiempo. La Ec.7 es la ecuación de la cantidad Carga que hay en el circuito que eta previamente cargado con Q 0 y disminuye de forma exponencial. Como ya obtuvimos la ecuación de carga en función del tiempo, podemos despejar la Ec.4 y saber la ecuación de Corriente: I(t)= - Q 0 / τ * exp (-t/ τ ) I(t) = V 0 /R* exp (-t/ τ ) I(t)= I 0 * exp (-t/ τ ) (Ec.8) Y de la misma forma para el potencial eléctrico: I = (Q 0 /C)*(I/V)* exp (-t/ τ ) V=V 0 exp (-t/ τ ) (Ec.9) GR12NL28

Fig.2 Circuito RC con Fuente conectado en serie /campo_electrico/rc/rc.htm En el circuito de la figura mostrada tenemos un circuito RC incluyendo una fuente; haciendo un balance de Potencial Eléctrico, tenemos que: ε – V R – V C = 0 En donde ε es el potencial generado por la fuente, V R el de la resistencia y V C el del condensador, también lo podemos expresar los siguientes términos: ε – IR – Q/C = 0 (Ec.1) Como todos ya sabemos la corriente es la cantidad de carga que fluye a través del tiempo; en este proceso de carga la corriente aumentará, por ello: I= dQ / dt (Ec.2) Sustituyendo la corriente de Ec.2 en la Ec.1, obtenemos: ε = (dQ/dt)*R + Q/C (Ec.3) GR12NL28

En el instante t = 0 la carga inicial Q 0 = 0 y La corriente es máxima, I 0 = ε /R, ah medida que pasa el tiempo la corriente disminuye ya la carga aumenta. Cuando el tiempo tienda a infinito la carga máxima será Q f = C ε, en ese momento la corriente I = 0. Al multiplicar la Ec.3 por C obtenemos: εC – Q = (dQ/dt) * RC Simplificando la ecuación anterior, tenemos una ecuación de variables separables: dQ/(Cε - Q) = dt/RC (Ec.4) Solucionado la ecuación tenemos: -ln(Cε - Q) = t/RC + Cte (Ec.5) Despejando Q obtenemos : Q = exp t/RC + Cte + Cε Como en el instante t = 0 ; Q =0 entonces Cte = ln(-C ε), entonces la ecuación de carga ser igual a : Q= C ε*(1-exp (-t/RC) ) Q = Q f *(1-exp (-t/RC) ) (Ec.7) GR12NL28

SERWAY, Raymond A. Física, tomo II, 3ra Edición, págs.: 725 a 745. TIPLER, Paul A. Física**, 3ra Edición, págs. : 760 a practicas/FU2/Descarga%20de%20un%20condensador.%20LP.pdf practicas/FU2/Descarga%20de%20un%20condensador.%20LP.pdf