Los Números Racionales Prof. Javier Sandoval

Objetivos: Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión, tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales y en el ámbito cotidiano. Aplicar la operatoria básica en los números naturales y enteros.

Objetivos: Aplicar las operaciones básicas en los números racionales. Resolver problemas que involucren operaciones con números enteros, decimales y fracciones. Reconocer regularidades numéricas (secuencias).

1.Números racionales (Q) 1.1 Propiedades de los racionales 1.2 Operatoria en los racionales 1.3 Transformaciones de números racionales 1.4 Comparación de fracciones 2. Números irracionales (Q*) Contenidos 1.5 Secuencia numérica

1.Números Racionales ( Q ) Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde todos los números se pueden escribir como fracción, es decir: a b / a y b son enteros, y b es distinto de cero Q = Ejemplos: 2; 17; 0; -6; -45; -2; 7 0,489;2,18;-0,647 -1;-1; 8 14 ; 3 15, 0 NO es racional a: numerador y b: denominador

Por ejemplo: 3 es Natural (3 IN ), 3 es Cardinal (3 IN 0 ), 3 es Entero (3 Z ), y como 3 =, 3 es racional (3 Q ). 3 1 IN IN 0 Z Q Todo número entero es racional.

Diagrama representativo:

1.1 Propiedades de los racionales Amplificar y simplificar fracciones Ejemplo: 2∙2∙ 3∙3∙ Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como el denominador por un mismo número. 6 6 Al amplificar la fracción por 6 resulta: 2 3 = Las fracciones se pueden clasificar en: Fracción propia, donde el numerador es menor que el denominador. Fracción impropia, donde el numerador es mayor que el denominador. Fracción Mixta, está compuesta de una parte entera y de otra fraccionaria.

Ejemplo: Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el numerador como el denominador por un mismo número. 3 3 = 9 15 Al simplificar la fracción por 3 resulta: : 45 : Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción El inverso multiplicativo, o recíproco de 2 9 es: 9 2 Ejemplo:

1.2 Operatoria en los racionales Suma y resta Ejemplos: 1. Si los denominadores son iguales: = Si uno de los denominadores es múltiplo del otro: = 2∙3 + 7∙1 45 = = = y

3. Si los denominadores son primos entre sí: = 5∙3 + 7∙ == Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.): = 4∙8 + 5∙ == 67 40

-4 5 ∙ 8 7 = = Multiplicación: Ejemplo: = ∙ = División: Ejemplo: -4 5 : 7 8 = Número Mixto: Ejemplo: = 8∙ = 43 5

1.3 Transformación de números racionales De fracción a decimal: Ejemplo: Se divide el numerador por el denominador. 7 4 = 1,75 De decimal finito a fracción: Ejemplo: El numerador corresponde al número sin comas, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número = 1,75 = ∙7 25∙4 =

De un número decimal periódico a fracción: 1.El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera. 2.El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período. Ejemplo 1: 2,35 = 235 – 2 = Ejemplo 2: 0,376 = 376 – 0 = Nota : Se llama “período” al conjunto de dígitos que se repite indefinidamente.

3,21 = = De un número decimal semi periódico a fracción: 1.El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período. 2.El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período. Nota : Se llama “ante período” a los números que hay entre la coma decimal, y el período. Ejemplo:

1.4 Comparación de fracciones Multiplicación cruzada: Ejemplo: Al comparar(Multiplicando cruzado) y 13 ∙ 10 y 15 ∙ y 135 Como 130 < 135, entonces: <

Igualando denominadores: Ejemplo: Al comparar y (Igualando denominadores) 13∙4 15∙4 7∙5 12∙5 y y Como 52 > 35, entonces >

Transformar a decimal: Ejemplo: Al comparar(Transformando a decimal)y =0, … 7 12 =0, … > Como 0,86 > 0,583, entonces

Igualando Numeradores: Ejemplo: Al comparar (Multiplicamos ambos numeradores por un factor para obtener el m.c.m. entre 10 y 13 en este caso 130) y 10·13 3·13 13·10 4·10 y y Por lo tanto, es mayor que

Ejemplo: En la secuencia: 6, 5 16, 5 26, 5 36,... 5 ¿Qué número tendríamos que sumar a para obtener el 7° término ? 1, 5 De acuerdo a las características de la secuencia, el 7° término es Tendríamos que sumar a para obtener el 7° término , 5 65 = 13 5 Es decir: Respuesta: 1.5 Secuencia Numérica

Observación: La secuencia anterior también se puede analizar de la siguiente manera: 1 + 1, , , , … 5..., 1°2°3°4°..., 7°… Lo que nos permitiría saber, por ejemplo, ¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia? Respuesta: Es, más un número impar, lo que se expresa como: (2n - 1) 5 (Con n = posición del término)

Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción (decimales infinitos NO periódicos). 2. Números Irracionales ( Q* ) Q* = Q U

Sinteticemos en el siguiente mapa conceptual lo que hemos aprendido

Conjunto Q Propiedades y comparación Operatoria Transformaciones Decimal finito a fracción Decimal periódico a fracción Decimal semiperiódico a fracción Adición Sustracción Multiplicación División Simplificación Amplificación Fracciones equivalentes

Q U Q * = IR Conjunto Q * Decimales infinitos NO periódicos Conjunto Q Fracciones Impropia Propia Número mixto Decimales Finitos Infinitos periódicos Infinitos semiperiódicos

Material Complementario Libro Santillana Unidad n° 1: Número Racionales y Potencias. -Lección 1 ¿ Qué problemas no tienen solución en los enteros, pero si en los números naturales? Pág.10 -Lección 2: Los números decimales periódicos y semi-periódicos ¿ son números racionales? Pág.12 -Lección 5: ¿Cómo resolver operaciones con números racionales? Pág.26 -Lección 6: ¿Qué es la propiedad de clausura? Pág.32 - Lección 7: ¿Por qué los números racionales son densos? Pág.36