UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL ESTADO DE MEXICO FACULTAD DE CIENCIAS AGRÍCOLAS UNIDAD DE APRENDIZAJE: ESTADISTICA Y PROBABILIDAD TEMA DE LA UNIDAD DE APRENDIZAJE: FUNDAMENTOS PRUEBAS DE LAS HIPOTESIS REFERENTES A LA MEDIA. AUTOR: DR. GASPAR ESTRADA CAMPUZANO PROGRAMA EDUCATIVO: INGENIERO AGRONOMO FOTOTECNISTA SEPTIEMBRE 2015

La presente exposición pretende dar una orientación a los estudiantes sobre las pruebas de hipótesis relacionadas con la media, utilizando ejemplos que están relacionados con el área de la Fitotecnia y algunos elementos que se deben considerar en función de la naturaleza del fenómeno en estudio, principalmente aquellos relacionados con la elección del estadístico de prueba. Esta presentación esta orientada fundamentalmente para aquellos estudiantes de licenciatura de Ingeniero Agrónomo Fitotecnista que cursan la Unidad de Aprendizaje de Estadística y Probabilidad, pero también puede servir para otras licenciaturas, dado que los conceptos teóricos son los mismos, pero el área de aplicación si difiere por lo que los ejemplos deberán ser distintos.

OBJETIVO DE LA UNIDAD DEAPRENDIZAJE El objetivo general de la Unidad de aprendizaje es que los dicentes apliquen los conceptos básicos de probabilidad en el estudio de fenómenos de naturaleza aleatoria, así como también, aquellos conceptos relacionados con la estimación de parámetros y pruebas de hipótesis estadística. El objetivo del tema de la Unidad de aprendizaje es que el dicente sea capaz de aplicar los modelos probabilísticos en los que se basan las prueba de hipótesis relacionadas a la media, cuando el tamaño de muestra es grande o reducido ó cuando las muestras son independientes.

UNIDAD V. FUNDAMENTOS DE LAS PRUEBAS DE HIPOTESIS REFERENTES A LA MEDIA Pruebas de hipótesis referentes a la media, con tamaño de muestra grande y/o varianza poblacional conocida. Pruebas de hipótesis referentes a la media. Hipótesis nulaHipótesis alternativa µ≤µ 0 µ>µ 0 µ≥µ 0 µ<µ 0 µµ0µµ0 µ≠µ 0 Suponiendo que se deseara realizar la siguiente prueba de hipótesis: Ho: µ≤µ 0 en contra de Ha: µ>µ 0, entonces el rechazo de Ho a favor de Ha sería recomendado si los valores observados en la son demasiado grandes respecto al valor con el que se esta contrastando µ 0.

Asumiendo que µµ 0 entonces ~ y su valor estandarizado sería: Por lo tanto, sí se deseara realizar una prueba de hipótesis a un nivel de significancia α, deberá rechazarse la hipótesis nula sí Z > Z α : ZαZα Z α Siguiendo el mismo razonamiento, si se deseara contrastar Ho: µ≥µ 0 vs Ha: µ<µ 0, se rechazaría Ho sí Z<-Z α. -Z α Z α

Finalmente si se deseara contrastar Ho: µµ 0 vs Ha: µ≠µ 0, rechazaríamos Ho sí se alejara de en ambas direcciones, por lo que se tendría que dividir el nivel de significancia, es decir se usaría α/2 para construir la zona de rechazo por lo que se rechazaría Ho sí Z Z α/2. En forma resumida se puede establecer el siguiente cuadro: Hipótesis nulaHipótesis alternativa Rechazar Ho: Sí µ≤µ 0 µ>µ 0 Z>Z α µ≥µ 0 µ<µ 0 Z<-Z α µµ0µµ0 µ≠µ 0 Z<-Z α/2 ó Z>Z α/2 Z >Z α/2

Ejemplo 1: Después de realizar un estudio extensivo se sabe que una nueva variedad de Gerbera presenta para ciertas condiciones de invernadero 25 tallos por planta. Sin embargo después de establecer 40 parcelas bajo las mismas condiciones en ese invernadero se encontró un promedio de 20 tallos por planta con una σ de 2.0. Hipótesis a probar Ha: 20 < 25 Ho: 20 ≥ 25 Datos µ o =25 µ = 20 σ = 2.0 n = 40 Z 0.05 = Obtener el estadístico Z

-Z α =-1.64 Z= Por lo tanto se rechaza Ho y se puede concluir a un nivel de probabilidad del 0.05 que la nueva variedad presenta menos de 25 tallos por planta. Z<-Z < Determinar la región de rechazo En este sentido, Z es menor que -Z α

Se sabe que con la aplicación de cierto aminoácido la longitud del botón floral en rosa es de 6.5 cm. Sin embargo el fabricante del aminoácido afirma que la longitud puede ser mayor, para probar su hipótesis aplica el aminoácido a 64 plantas y encuentra una longitud promedio de 7.8 cm con una σ de 1.2 cm. ¿Puede afirmar el fabricante a un nivel de significancia del 0.01 que la aplicación del aminoácido aumente la longitud del botón floral en rosa?. Ejemplo 2 Hipótesis a probar Ha: 7.8 > 6.5 Ho: 7.8 ≤ 5.0 Datos µ o =6.5 µ = 7.8 σ = 1.2 n = 64 Z 0.01 = 2.33 Obtener el estadístico Z

Z 0.01 =2.33 Z=11.76 Por lo tanto se rechaza Ho y se puede concluir a un nivel de probabilidad del 0.01 que el fabricante puede afirmar que el aminoácido incrementa la longitud del botón floral en rosa. Z > Z > 2.33 En este sentido, Z es mayor que Z α Determinar la región de rechazo en función de H0.

Pruebas de hipótesis referentes a una media con tamaño de muestra reducido (n<30) y/o varianza poblacional desconocida. Un caso de mayor interés desde el punto de vista aplicado se da cuando se tienen tamaños de muestra reducidos (n<30). En estos casos se debe sustituir al estadístico Z por el estadístico t en donde: En este sentido, sí se desea contrastar la media de una muestra aleatoria de una población normalmente distribuida en contra de una valor particular (µ 0 ). Las regiones de rechazo para los tres tipos de hipótesis nula que se pueden formular estarían dadas de la siguiente forma:

Hipótesis nula Hipótesis alternativa Rechazar Ho: Sí µ ≤ µ 0 µ > µ 0 t c >t (α, n-1 g.l) µ ≥ µ 0 µ < µ 0 t c >-t (α, n-1 g.l) µ = µ 0 µ ≠ µ 0 t c >t (α/ 2, n-1 g.l) ó t c <-t (α/ 2, n-1 g.l) En donde t (α, n-1 g.l) se refiere al valor de la distribución de t a un nivel de significancia α con n-1 grados de libertad y n se refiere al tamaño de muestra. Ejemplo 1 Se sabe que bajo condiciones de invernadero cierta variedad de Gerbera presenta 25 flores por planta. Sin embargo un grupo de especialistas en floricultura han desarrollado una nueva variedad que según afirman presenta un número de flores mayor. Después de establecer 11 parcelas experimentales bajo condiciones de invernadero encontraron los siguientes datos:

Hipótesis a probar Ha: > 25 Ho: ≤ 25 Dato s Obtener el estadístico t t 0.01= Tc=4.8 Por lo tanto se rechaza Ho y se puede concluir a un nivel de probabilidad del 0.01 la nueva variedad produce más flores que la otra t > t > µ o =25 = S = 2.38 n = 11 t 0.01 (10 g.l) =

Ejemplo 2 Un investigador afirma que una variedad de girasol presenta un contenido aproximado de aceite del 5 %. Para verificar esta aseveración se analizaron 15 muestras de semilla, las cuales presentaron un contenido promedio de aceite de 4.6 % con una varianza de 0.64 %. i) Establezca la Ho y Ha ii) Realice la prueba de hipótesis a un nivel de significancia del 1 %. iii) A que conclusión llegaría después de efectuar la prueba. Hipótesis a probar Ha: 4.6% < 5.0% Ho: 4.6% > 5.0% Datos µ o =5.0 = 4.6 S = 0.8 n = 15 t 0.01 (14 g.l) =

Obtener el estadístico t t 0.01, 14 g.l = Tc=-1.93 Por lo tanto se no rechaza Ho y se puede concluir a un nivel de probabilidad del 0.01 que la variedad de girasol efectivamente presenta el 5% de aceite. t c > t > Establecer la región de rechazo en términos de H0:

Pruebas de hipótesis referentes a dos medias Muy frecuentemente el interés del investigador puede estar centrado en la comparación de dos poblaciones en relación a sus valores medios. Cuando el tamaño de las muestras es grande, el valor estandarizado de la diferencia entre medias que se desean comparar estará dado de la siguiente forma: en donde Z es el valor estandarizado de la diferencia entre dos medias. son las medias muéstrales de las poblaciones 1 y 2, respectivamente. es el error estándar de la diferencia entre dos medias. son las varianzas de las muestras 1 y 2, respectivamente. n 1 y n 2 son los tamaños de muestra de las poblaciones 1 y 2 (n 1 y n 2 >30). Pruebas de hipótesis referentes a dos medias con muestras independientes de tamaño grande y/o varianza conocida.

Sí se desea contrastar la Ho: µ 1 =µ 2 a un nivel de significancia α, las regiones de rechazo estarán determinadas de la siguiente forma: HIPOTESIS ALTERNATIVA RECHAZAR Ho: Sí µ 1 >µ 2 µ 1 <µ 2 µ 1 ≠µ 2 Ejemplo 1 Un investigador esta interesado en determinar sí la aplicación de cierto fungicida en el cultivo de crisantemo, incrementa el diámetro de la flor. Con tal propósito establece 60 parcelas con aplicación y 40 sin aplicación y encuentra los siguientes resultados. Con aplicaciónSin aplicación 12.6 cm10.2 cm n1n1 60n2n2 40

Hipótesis a probar Obtener el estadístico t Por lo tanto se rechaza Ho y se concluye que la aplicación del fungicida incrementa el diámetro de la flor en crisantemo, a un nivel de significancia del Z> Z > 2.33 Ha: 12.6>10.2 Ho: 12.6=10.2 µ 1 µ 2 Z 0.01 =2.33 Z=5.87 Determinar a un nivel de significancia del 1% sí existen diferencias entre el diámetro de la flor.

Ejemplo 2 Para comparar la eficacia de dos herbicidas, se establecieron 50 lotes en donde se aplicó el herbicida 1 y 60 lotes en donde se le aplicó el herbicida 2 y se obtuvieron los siguientes resultados. Porcentaje de control = 89 % = 4.0 %n 1 = 50 = 87 % = 5.0 %n 2 = 60 Determinar a un nivel de significancia del 5 %, sí existen diferencias entre los dos herbicidas utilizados. Hipótesis a probar Ha: 89 ≠ 87 Ho: 89 = 87 µ 1 µ 2

Obtener el estadístico Z Por lo tanto se rechaza Ho y se concluye que la aplicación del fungicida incrementa el diámetro de la flor en crisantemo, a un nivel de significancia del Z> Z > 2.33 Z 0.01 =2.33 Z=5.87 Determinar la región de rechazo

Pruebas de hipótesis referentes a dos medias con muestras independientes de tamaño reducido y/o varianza desconocida. Cuando se desea comparar las medias de dos poblaciones a través de muestras aleatorias de tamaño reducido (n<30) el estadístico Z no resulta apropiado para efectuar las pruebas de hipótesis respectivas. Por lo que en estos casos deberá emplearse el estadístico t en donde: El cual será contrastado con el valor tabulado de la distribución de la distribución de t a un nivel de significancia α con (n 1 +n 2 ) – 2 grados de libertad (t α, n 1 -n 2 – 2 g.l). Si la es de la siguiente forma Ho:µ 1 = µ 2, las regiones de rechazo a un nivel de significancia α, estarán dadas de la siguiente forma:

Ejemplo 1 Una muestra de 10 plantas de una variedad A de Lilis presentaron una altura promedio de 110 cm con una σ =3.5 cm. Por otro lado, una muestra de 12 plantas de una variedad B presentaron una altura promedio de 85.6 cm con una σ =2.5 cm. Si los invernaderos de donde provinieron las muestras estuvieron sujetos a las mismas condiciones ambientales. ¿Se puede establecer a un nivel de significancia del 5 % que la variedad A presenta una mayor altura de sus tallos que la variedad B? Porcentaje de control = 110 cm = 3.5 cmn 1 = 10 = 85.6 cm = 2.5 cmn 2 = 12 HIPOTESIS ALTERNATIVARECHAZAR Ho: Sí µ 1 >µ 2 t>t (α, n-1 g.l) µ 1 <µ 2 t<-t (α, n-1 g.l) µ 1 ≠µ 2 t>t (α/2, n-1 g.l) ó t<-t (α/2, n-1 g.l)

Obtener el estadístico t t 0.01, 20 g.l =2.086 t=13.97 Determinar la región de rechazo Hipótesis a probar Ha: 110 > 85.6 Ho: 110 = 85.6 µ 1 µ 2

Por lo tanto se rechaza Ho y se concluye que la aplicación del fungicida incrementa el diámetro de la flor en crisantemo, a un nivel de significancia del Z> Z > 2.33 Ejemplo 2 Una investigación fue conducida con el fin de determinar sí la aplicación de cierta hormona vegetal incrementa el numero de flores por planta de cierta variedad de Gerbera. Con tal propósito se establecieron 12 parcelas de las cuales 6 recibieron la aplicación de la hormona y 6 no, encontrándose los siguientes resultados: Determinar a un nivel de significancia del 5 % si la aplicación de la hormona incrementa el numero de flores por planta.

Hipótesis a probar Ha: 26 < 33 Ho: 26 = 33 µ 1 µ 2 Obtener el estadístico t Porcentaje de control = 26 flores = 2.0 floresn 1 = 6 = 33 flores = 1.7 floresn 2 = 6

Por lo tanto se rechaza Ho y se concluye que la aplicación del fungicida incrementa el diámetro de la flor en crisantemo, a un nivel de significancia del Z> Z < t 0.05, 10 g.l = t= Determinar la región de rechazo

Pruebas de hipótesis referentes a dos medias muéstrales con observaciones apareadas (Prueba de t apareada) En ocasiones las observaciones de las dos poblaciones que se desean comparar se encuentran apareadas ó están dispuestas en pares y cada par esta sujeto a condiciones ambientales similares. Por ejemplo se puede comparar el rendimiento de dos variedades estableciendo parcelas adjuntas de dichas variedades en un determinado numero de localidades ó años. Si los miembros de los pares estas correlacionados positivamente, es decir si los miembros de cada par tienden a ser grandes ó pequeños conjuntamente, entonces se puede aumentar la capacidad de detectar una diferencia pequeña entre las medias que se están comparando, lo cual no se conseguiría si se considerara a las muestras en forma independiente.

Bajo esta situación el estadístico apropiado para realizar una prueba de hipótesis en relación a dos medias sería el siguiente: en donde es el error estándar de la diferencia entre dos medias es la i-ésima observación de la muestra de la población 1 es la i-esima observación de la muestra de la población 2 n es el numero de pares observados

Bajo Ho: µ 1 = µ 2 las regiones de rechazo a un nivel de significancia α para las diferentes Ha serían las siguientes: HIPOTESIS ALTERNATIVARECHAZAR Ho: Sí µ 1 >µ 2 t>t (α, n-1 g.l) µ 1 <µ 2 t<-t (α, n-1 g.l) µ 1 ≠µ 2 t>t (α/2, n-1 g.l) ó t<-t (α/2, n-1 g.l) n = Numero de pares de observaciones

Ejemplo 1 Un investigador esta interesado en determinar si el control de malezas puede incrementar los rendimientos de trigo. Con tal propósito estableció en 10 localidades 2 parcelas una con control de malezas y otra sin control, encontrando los siguientes resultados: Rendimientos en t/ha Localidad Con control sin control Realizar la prueba de hipótesis respectiva a un nivel de significancia del 5 %.

Localidad Con control sin control

t (α, n-1 g.l) t (0.05, 9 g.l) = t 0.05, 9 g.l =1.833 t=2.93 Determinar la región de rechazo Se rechaza H0, y se puede concluir que el control de malezas incrementa significativamente el rendimiento de grano en trigo, a un nivel de probabilidad del 0.05.

Ejemplo 2. Para conocer la conductividad eléctrica del suelo en un campo experimental se tomaron 10 muestras de suelo a una profundidad de 0 a 30 y a una profundidad de 30 a 60 cm. Los resultados en milimols se presentan a continuación: Muestra x i cm X i cm (x i1 -x i2 ) (x i1 – x i2 ) 2 Con los datos anteriores pruebe la hipótesis de que no existen diferencias entre la conductividad eléctrica de los dos perfiles del suelo (Utilice un nivel de significancia del 0.01)

XIII. REFERENCIAS SUGERIDAS PARA QUE EL ALUMNO REFUERZE LOS CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS 1. Miller Irwin y John E: Freud. PROBABILIDAD Y ESTADISTICA PARA INGENIEROS. ED. REVERTE MEXICANA, S.A. MEXICO, Lipschutz Seymour. PROBABILIDAD (TEORIA Y 500 PROBLEMAS RESUELTOS). ED. Mc GRAW HILL (SERIE SCHAUM). MEXICO, Infante Gil, Said y Zarate de Lara Pedro. METODOS ESTADISTICOS. ED. TRILLAS. MEXICO, Meyer, Paul L. PROBABILIDAD Y APLICACIONES ESTADISTICAS. ED. FONDO EDUCATIVO INTERAMERICANO, S.A. MEXICO, Spiegel, M.R. TEORIA Y PROBLEMAS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. ED. Mc GRAW HILL (SERIE SCHAUM). MEXICO, Bhattacharyya G. K & R. Jhonson. STATISTICAL CONCEPTS AND METHODS. Ed. Jhon Wiley and Sons.