Capítulo 10 Test de Hipótesis.

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1 Capítulo 10 Test de Hipótesis

2 Contraste de Hipótesis
Contrastar una Hipótesis Estadísticamente es juzgar si cierta propiedad supuesta para una población es compatible con lo observado en una muestra de ella. Alternativas: Hipótesis A v/s Hipótesis B, donde A y B no pueden cumplirse simultáneamente. Tipos de Hipótesis: Hipótesis Alternativas Hipótesis Anidadas Anidadas: Hipótesis A y B, donde A es un caso especial de B.

3 Contraste de Hipótesis
Hipótesis Simple: El parámetro tiene un único valor. Hipótesis Compuesta: El parámetro tiene varios valores. Hipótesis Nula: (H0) es la hipótesis que se contrasta. Esta hipótesis se mantendrá a no ser que los datos indiquen lo contrario. Esta hipótesis nunca se considera probada aunque puede ser rechazada por los datos. Hipótesis Alternativa: (H1) es la hipótesis contrapuesta a H0.

4 Elementos de una Prueba de Hipótesis
1.- Hipótesis Nula (H0), Hipótesis Alternativa. 2.- Estadística de Prueba (Discrepancia). 3.- Región de Rechazo (Región Crítica). 4.- Regla de Decisión.

5 Definiciones Prueba (Contraste) de Hipótesis Estadística: es una regla  (Procedimiento) para decidir si rechazamos una hipótesis H0. Estadística de Prueba: Es una función de la muestra. Interesa que contenga el máximo de información sobre H0. Es en base a la información contenida en esta función que decidiremos respecto de la aceptación o rechazo de H0. Región Crítica: Define los valores del estadístico de Prueba para los cuales se contradice H0.

6 Definiciones Regla de Decisión: Procedimiento que acepta o rechaza H0, dependiendo del valor del estadístico de Prueba. Nivel de Significación: Este valor  determina un valor crítico c : P ( d > c / H0 ) = . El procedimiento de selección de “c” a partir de  tiene varias críticas: i. El resultado del Test depende mucho de . ii. Dar sólo el resultado del Test no permite diferenciar el grado de evidencia que la muestra indica a favor o en contra de H0.

7 Definiciones Nivel crítico p: Se define el nivel crítico p del contrate como la probabilidad de obtener una discrepancia mayor o igual que la observada en la muestra bajo H0. donde: : valor observado p : depende de la muestra

8 Consideremos H0:   0 v/s H1:   1
Sea : Estado de Naturaleza  = 0  1 : Espacio de Información  = C  CC Regla de Decisión: x  C  H0 es F x  CC  H0 es V Error tipo I: Rechazar H0 (cuando es verdadero) Error tipo II: Aceptar H0 (cuando es falso) P(Error tipo I) = P ( C ) =  ,   0 P(Error tipo II) = P (CC) =  ,   1 Fijada la región crítica C podemos definir: C:  0,1  C() = P (C) Función Potencia

9 En la práctica interesa que  ,  sean pequeños.
Un método para construir un Test apropiado es: 1.- Fijar C : P ( C )   dado  Sea  = {C : P ( C )   } 2.- Elegir C : P ( CC ) =  sea mínimo para C  . Toda región C   región crítica : P ( C )   si    y P ( C ) máxima   1, se dice Región Crítica Óptima.

10 ~ ~ Test de Comparación de Medias Supuesto: Independencia
Caso Normal: Estadística de Prueba i desconocidos pero iguales i conocidos

11 donde Para el caso de i desconocidos y distintos no hay solución exacta. Región crítica C se modifica

12 Ejemplo Una v.a. X tiene una ley de Probabilidades dada por:
Bajo H0 p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Bajo H1 p 2/15 1/6 1/5 1/5 1/6 2/15 Regla: Se decide rechazar H0 si X = 3 ó 4 Determinar:  = Error tipo I ;  = Error tipo II y la Potencia del Test

13 Solución  = PHo ( C ) = PHo ( 3 , 4 ) = 2/6 = 1/3  = PH1 ( CC )
C () = P (C) = 1 -  = 2/5

14 Resumen

15  Hipótesis Estadística de Prueba ( conocido) ( desconocido) idem

16 Hipótesis Estadística de Prueba    

17 Problema Un nuevo dispositivo de filtrado se instala en una planta química. Antes y después de su instalación una m.a. respectiva arrojó la siguiente información del porcentaje de impurezas: Antes Después ¿ El dispositivo de filtrado ha reducido el porcentaje de impurezas significativamente ?

18 Desarrollo 

19  Nivel de significancia =0,05 t0,975(15)gl = 2,131
Región crítica C = ] - ; -2,131 ]  [ 2,131 ;  [ t0  CC  Se acepta H0 Es decir, el dispositivo nuevo no reduce significativamente el porcentaje de impurezas. Región crítica C = ] 0 ; 0,204 ]  [ 4,53 ;  [ F0  CC  Se acepta H0 : 12 = 22 