Tema 17: Contraste paramétrico de hipótesis I: Pruebas de contraste para un grupo. Pruebas de contraste para dos grupos: independientes o relacionados.

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1 Tema 17: Contraste paramétrico de hipótesis I: Pruebas de contraste para un grupo. Pruebas de contraste para dos grupos: independientes o relacionados. Potencia de la prueba.

2 Pruebas de contraste para un grupo Vamos a ver TRES contrastes. -Primero veremos el contraste de hipótesis sobre la media de un grupo (con n observaciones independientes) -Segundo veremos el contraste de hipótesis sobre la proporción en un grupo. -Tercero, veremos el contraste de hipótesis sobre la varianza de un grupo.

3 Pruebas de contraste para un grupo 1. Contraste de hipótesis sobre la media de un grupo (con n observaciones independientes) Veremos dos casos: a) el caso de que conozcamos la varianza poblacional (caso improbable) b) el caso de que desconozcamos la varianza poblacional (caso usual) a) Caso de conocer la varianza poblacional Hipótesis nula:  =  0 Hipótesis alternativa:  ≠  0 Supuestos estadísticos: La población de origen es normal (o cualquier distribución, caso de que n sea grande) Estadístico de contraste: Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico se distribuye N(0,1)

4 a) Caso de conocer la varianza poblacional (cont.) Región de mantenimiento de la hipótesis nula y región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos, por simplicidad, un alpha de 0'05).

5 b) Caso de DESCONOCER la varianza poblacional Hipótesis nula:  =  0 Hipótesis alternativa:  ≠  0 Supuestos estadísticos: La población de origen es normal (o cualquier distribución, caso de que n sea grande) Estadístico de contraste: Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico se distribuye t con n-1 gl Región de mantenimiento de la hipótesis nula y región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos, por simplicidad, un alpha de 0'05).

6 Pruebas de contraste para un grupo 2. Contraste de hipótesis sobre una sola proporción (n observaciones independientes) Hipótesis nula: p=p 0 Hipótesis alternativa: p≠p 0 Supuestos estadísticos: La población de origen sigue una distribución de Bernoulli. Estadístico de contraste: (emplearemos la aproximación a la normal; hay otra fórmula para el caso de que n sea pequeño) Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico se distribuye según una N(0,1)

7 2. Contraste de hipótesis sobre una sola proporción (n observaciones independientes) (cont.) Región de mantenimiento de la hipótesis nula y región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos, por simplicidad, un alpha de 0'05).

8 Pruebas de contraste para un grupo 3. Contraste de hipótesis sobre la varianza (n observaciones independientes) Hipótesis nula:  =  0 Hipótesis alternativa:  ≠  0 Supuestos estadísticos: La población de origen es normal. Estadístico de contraste: 2222 Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico se distribuye chi-cuadrado con n-1 gl

9 3. Contraste de hipótesis sobre la varianza (n observaciones independientes) (cont.) Región de mantenimiento de la hipótesis nula y región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos, por simplicidad, un alpha de 0'05).

10 Pruebas de contraste para dos grupos Vamos a ver TRES contrastes. -Primero veremos el contraste de hipótesis sobre la diferencia de medias de dos grupos -Segundo veremos el contraste de hipótesis sobre el contraste de dos proporciones -Tercero, veremos el contraste de hipótesis sobre el dos varianzas En las tres situaciones, veremos el caso de que los grupos sean independientes (no relacionados) y el caso de que los grupos sean relacionados

11 Pruebas de contraste para dos grupos Contraste de hipótesis sobre la diferencia de medias de dos grupos Veremos TRES posibilidades, a su vez: A) Contraste sobre la diferencia de dos medias independientes (asumiendo que conozcamos la varianza poblacional en cada grupo; atención: caso muy poco realista) B) Contraste sobre la diferencia de dos medias independientes, asumiendo que si bien no conocemos la varianza poblacional de los grupos, asumimos que éstas son iguales. C) Contraste sobre la diferencia de dos medias independientes, asumiendo que no conocemos la varianza poblacional de los grupos y que éstas son diferentes. D) Contraste sobre la diferencia de dos medias de grupos relacionados

12 Pruebas de contraste para dos grupos A) Contraste de hipótesis sobre la diferencia de medias de dos grupos independientes. Caso de conocer la varianza poblacional de los grupos Hipótesis nula:  1 =  2 Hipótesis alternativa:  1 ≠  2 Supuestos estadísticos: Ambas normales (o cualquier distribución, caso de que los tamaños muestrales sean grandes) Estadístico de contraste: Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico se distribuye N(0,1) Región de mantenimiento de la hipótesis nula y región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos, por simplicidad, un alpha de 0'05).

13 Pruebas de contraste para dos grupos B) Contraste de hipótesis sobre la diferencia de medias de dos grupos independientes. Varianzas poblacionales desconocidas (pero iguales) Hipótesis nula:  1 =  2 Hipótesis alternativa:  1 ≠  2 Supuestos estadísticos: Ambas normales (o cualquier distribución, caso de que los tamaños muestrales sean grandes) Estadístico de contraste: Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico se distribuye t con n 1 +n 2 -2 gl Región de mantenimiento de la hipótesis nula y región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos, por simplicidad, un alpha de 0'05).

14 Pruebas de contraste para dos grupos C) Contraste de hipótesis sobre la diferencia de medias de dos grupos independientes. Varianzas poblacionales desconocidas (pero diferentes) Hipótesis nula:  1 =  2 Hipótesis alternativa:  1 ≠  2 Supuestos estadísticos: Ambas normales (o cualquier distribución, caso de que los tamaños muestrales sean grandes) Estadístico de contraste: Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico se distribuye según t de Student con los siguientes grados de libertad:

15 Pruebas de contraste para dos grupos C) Contraste de hipótesis sobre la diferencia de medias de dos grupos independientes. Varianzas poblacionales desconocidas (pero diferentes) (cont) Región de mantenimiento de la hipótesis nula y región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos, por simplicidad, un alpha de 0'05).

16 Pruebas de contraste para dos grupos D) Contraste de hipótesis sobre la diferencia de medias de dos grupos relacionados. Hipótesis nula: Hipótesis alternativa: Supuestos estadísticos (de la población de diferencias): normales (con varianza poblacional desconocida) Estadístico de contraste: Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico se distribuye t con n-1 gl Región de mantenimiento de la hipótesis nula y región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos, por simplicidad, un alpha de 0'05).

17 Pruebas de contraste para dos grupos Contraste de hipótesis sobre dos proporciones Veremos DOS posibilidades, a su vez: A) Contraste sobre dos proporciones con observaciones independientes B) Contraste sobre dos proporciones con observaciones dependientes

18 Pruebas de contraste para dos grupos A) Contraste de hipótesis sobre dos proporciones (observ. Independientes) Hipótesis nula: p 1 =p 2 =p Hipótesis alternativa: p 1 ≠p 2 Supuestos estadísticos: Ambas de Bernoulli Estadístico de contraste (emplearemos solo la de muestras grandes): Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico se distribuye N(0,1) Región de mantenimiento de la hipótesis nula y región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos, por simplicidad, un alpha de 0'05).

19 Pruebas de contraste para dos grupos B) Contraste de hipótesis sobre dos proporciones (observ. dependientes) Hipótesis nula: p 1 =p 2 =p Hipótesis alternativa: p 1 ≠p 2 Supuestos estadísticos: Ambas de Bernoulli Estadístico de contraste (emplearemos solo la de muestras grandes): antes después favor contra favor contra AB DC Observad que si la hipótesis nula fuera cierta, D=B (es decir, el mismo número de personas pasar de favor a contra, que de contra a favor).

20 Pruebas de contraste para dos grupos B) Contraste de hipótesis sobre dos proporciones (observ. dependientes) (cont) Hipótesis nula: B=D Hipótesis alternativa: B≠D Supuestos estadísticos: Ambas de Bernoulli Estadístico de contraste: Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico se distribuye N(0,1) Región de mantenimiento de la hipótesis nula y región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos, por simplicidad, un alpha de 0'05).

21 Pruebas de contraste para dos grupos Contraste de hipótesis sobre dos varianzas Veremos DOS posibilidades, a su vez: A) Contraste sobre dos varianzas con observaciones independientes B) Contraste sobre dos varianzas con observaciones dependientes

22 Pruebas de contraste para dos grupos A) Contraste de hipótesis sobre dos varianzas con observ. independientes Hipótesis nula:  1 =  2 Hipótesis alternativa:  1 ≠  2 Supuestos estadísticos: Ambas normales Estadístico de contraste: Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico se distribuye F con n 1 gl en el numerador y n 2 gl en el denominador 2222

23 Pruebas de contraste para dos grupos A) Contraste de hipótesis sobre dos varianzas con observ. Independientes (cont) Región de mantenimiento de la hipótesis nula y región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos, por simplicidad, un alpha de 0'05).

24 Pruebas de contraste para dos grupos B) Contraste de hipótesis sobre dos varianzas con observ. dependientes Hipótesis nula:  1 =  2 Hipótesis alternativa:  1 ≠  2 Supuestos estadísticos: Ambas normales Estadístico de contraste: Si la hipótesis nula es cierta, dicho estadístico se distribuye t con n-2 gl 2222 Observad que las puntuaciones x son puntuaciones diferenciales.

25 Pruebas de contraste para dos grupos B) Contraste de hipótesis sobre dos varianzas con observ. dependientes (cont) Región de mantenimiento de la hipótesis nula y región de rechazo de la hipótesis nula (asumimos, por simplicidad, un alpha de 0'05).

26 Potencia de la prueba Recordad: la potencia de una prueba es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando ésta sea falsa. Se suele simbolizar como 1- . Se suele considerar OK una potencia de al menos 0'80 (es decir, asumiendo 100 experimentos en que hay un efecto real, lo detectaríamos -en promedio- 80 veces.) La potencia de una prueba AUMENTA cuando aumentamos el tamaño muestral. (Por ejemplo, en la prueba t para la diferencia de medias, ello se observa por cuanto "n" incrementa el valor de la t empírica.) La potencia de una prueba AUMENTA cuando el tamaño del efecto aumenta. (Por ejemplo, en la prueba t para la diferencia de medias, cuanto mayor sea la diferencia de medias, mayor será el valor de la t empírica.) La potencia de una prueba DISMINUYE cuando reducimos la probabilidad de error de tipo I (alpha o  ). Es decir, si alpha es de 0'01 en lugar de 0'05, los valores críticos (v.g., las t téóricas en el caso de la prueba de diferencia de medias) son algo más extremos y necesitaremos un valor del estadístico de contraste (v.g., t empírica) mayor para rechazar la hipótesis nula.

27 Potencia de la prueba (2) Hay fórmulas estadísticas (y programas en la internet) que permiten determinar la potencia de una prueba dado cierto tamaño muestral, y la inversa, es decir, determinar el tamaño muestral para una potencia dada. (Claro, que hemos de ser precavidos: para obtener tales valores necesitamos indicar lo que pensamos que serán los parámetros poblacionales...algo que en realidad no sabemos.) Aquí hay un enlace para calcular la potencia de pruebas t: http://calculators.stat.ucla.edu/powercalc/ Hay muchos otros en internet.