Cálculo de área por medio de la sumas de Riemann Alumnas: Maciel Gisella, Uliambre Sabrina Profesora: Nancy Debárbora Curso: 3er año del prof. En matemáticas Año 2013.

INTRODUCCIÓN Área: Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del área de un rectángulo (producto de la base por la altura), de aquí se deduce que el área de un triángulo rectángulo es igual a "un medio del producto de los catetos". La trigonometría facilita una fórmula para hallar la medida de cualquier clase de triángulo: "el área de un triángulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman dichos lados". Debido a que un polígono se puede descomponer en triángulos, la obtención de su área se consigue mediante la suma de las áreas de los triángulos en que se ha dividido. Este procedimiento de medir áreas sólo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas. Para medir el área de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro método, que es el que vamos a estudiar a continuación.

OBJETIVOS  Aplicar el cálculo de área mediante las sumas de Riemann.  Comparar las áreas utilizando como método el extremo derecho, izquierdo y punto medio.

Dada la función determinar el área limitada por dicha función en el intervalo [0;3] y el eje x.

¿de qué manera podemos determinar el área? En matemáticas la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el área bajo una curva. Las sumas de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un error muy grande. Partición de un intervalo: lo que vamos hacer es dividir al intervalo en subintervalos, entonces en [0;3] la partición seria el subconjunto finito

||P||=máx. {0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5} ||P||=0.5 de esta manera hallamos la norma de P, que se simboliza como ||P||. Tal que ||P||=máx. {0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5} La ||P|| es el mayor incremento, el mayor valor, en este caso son de igual longitud. Por lo tanto: ||P||=0.5 El error que se comete por el extremo derecho: Como ya dividimos al intervalo [0,3] en n-subintervalos iguales de longitud.Es claro que (b-a) es la amplitud del intervalo y n son los subintervalos. Es decir:

Así mismo denótese el i-ésimo subintervalo por [ Como la función es continua en [0,3], f(x) es continua en cada subintervalo cerrado. Por el teorema del valor extremo sabemos que existe un número en cada subintervalo para el cual la función tiene un valor mínimo absoluto. Sea este numero es el i-ésimo subintervalo, de tal modo que es el valor mínimo absoluto de f(x) en cada subintervalo. Se tiene n-subitervalos cada uno con de ancho y unidades de alto. Entonces el área de los subintervalos está dado por

Ahora aplicamos la idea fundamental del calculo de la integral, que es aproximar el área debajo de la curva por medio de los rectángulos de aproximación, cuya exactitud depende de aquí tan delgados sean, es decir, Altura de los rectángulos: Base de los rectángulos:

Para determinar el área por medio de los rectángulos de aproximación necesitamos conocer las siguientes propiedades.

Procedemos de la siguiente manera: Cálculo analítico: +6

Llegamos a la fórmula del área donde a n le damos valores. +6

Para 12,32

Para = 10,84

Cada vez que damos un valor a n, los rectángulos se van acercando al área total, ahora vamos a ver cuando: Para =10,5

Cuando hallamos el valor del limite de, hallamos el área exacta del recinto limitado por la curva y=1/2x 2 +2 y el eje x en el intervalo [0,3], o bien, Como se puede observar en las 2 primeras gráficas al tomar al extremo derecho, el error que se comete es por exceso comparando con el área total.

El error que se comete por el extremo izquierdo: Para este extremo el va a ser el mismo que el anterior va a ser el ancho y el i-ésimo subintervalo será de tal modo que es el valor mínimo absoluto de f(x) en cada subintervalo y es la altura de los rectángulos de aproximación.

Entonces el área de los subintervalos está dada por

]

Llegamos a la fórmula del área donde a n le damos valores.

Para

Al igual que el extremo derecho cuando le damos valores a n cada vez mayor, los rectángulos de aproximación se van acercando al área total. Cuando

Notamos que tanto por el extremo derecho e izquierdo llegamos a la misma área total del recinto limitado por la curva y=1/2x 2 +2 y el eje x en el intervalo [0,3]. Esto va a ser igual a la integral de dicha función. Como se puede observar en la 2 primeras gráficas que al tomar el extremo izquierdo el error que se comete es por defecto comparando con el área total.

Como ya hemos visto que tanto por el extremo derecho e izquierdo llegamos a la misma área total al aplicar límite o utilizando la integral. También hay otro método para analizar y ver como los rectángulos de aproximación se van acercando al área total cuando a n le damos valores cada vez más grande y es por el punto medio.

PUNTO MEDIO Al igual que los otros casos se resuelve de la misma manera donde el ancho de cada rectángulo es y el i-ésimo subintervalo va a ser: de tal modo que: es el valor mínimo absoluto de f(x) en cada subintervalo y es la altura de los rectángulos de aproximación.

El área de cada subintervalo está dada por

]

Llegamos a la fórmula del área donde a n le damos valores.

Para. Al igual que el extremo derecho e izquierdo, cuando le damos valores a n cada vez mayor, los rectángulos de aproximación se van acercando al área total.

Vemos que por este método llegamos al valor exacto del recinto limitado por la curva y=1/2x 2 +2 y el eje x en el intervalo [0,3] Para

En los casos anteriores el error que se comete por el extremo derecho cuando se toma el valor del límite superior del subintervalo es por exceso y en el extremo izquierdo cuando tomamos el valor del límite inferior del subintervalo el error es por defecto. En el caso del punto medio entre los subintervalo por lo que el error se equilibra.

Ahora analizaremos la misma función pero la consideraremos desplazada en [1,3] Tomamos la función primeramente para determinar el área consideraremos las siguientes propiedades de sumatoria:

Extremo derecho: Altura de los rectángulos de aproximación: base de los rectángulos de aproximación: Para determinar el área bajo la curva utilizaremos como en el caso anterior, extremo derecho, extremo izquierdo y punto medio. El valor exacto del área se logrará por medio de,o bien, se aproximará cada vez más cuanto más rectángulos de aproximación tomemos.

Para n=4 rectángulos de aproximación: Gráficamente:

Para n=100 rectángulos de aproximación: Gráficamente:

Cuando el número de rectángulos de aproximación tiende a infinito el valor del área de la curva es exacta: Gráficamente:

Cuando tomamos el extremo izquierdo el error que se comete en este caso es por defecto y menor al área de la curva y el eje x. Extremo izquierdo: Base de los Rectángulos: Alturas de los rectángulos:

Para N=4 rectángulos de aproximación:

PARA n=100 RECTÁNGULOS

La gráfica es la misma que por derecha. Y podemos comprobar por medio de la integral como lo dijimos anteriormente: Para determinar el área exacta considerando el extremo izquierdo aplicamos límite:

Entonces: De esta manera se comprueba que es lo mismo que:

Existe también la regla del punto medio para poder determinar el área bajo la curva pero también por aproximación hasta que lo llevemos al límite: Base de los rectángulos de aproximación: Altura de los rectángulos:

Lo hacemos de la siguiente manera:

Simplificamos: Calculemos el área para n=4 rectángulos Para n=100 rectángulos

Por último aplicamos límite: Y obtenemos el valor exacto del área limitada por la curva y el eje x.

Podemos dejar plasmado que calcular el área de una determinada curva y el eje x, ya no es problema y para ello podemos utilizar diferentes métodos de aproximación como el cálculo por medio del extremo derecho, el extremo izquierdo o punto medio y hallar el área exacta consiste en aplicar límite a la sumatoria de dichos rectángulos de aproximación o bien a través de la integral. CONCLUSIÓN:

BIBLIOGRAFÍA: PÁGINAS: Riemann / maple/html/talleres/01_sumas_riemman.html