Este trabajo tiene como fin demostrar las distintas formas de calcular el área de la función En el intervalo cerrado [-1,1] A través de las sumas de RIEMANN, las cuales se presentan en forma generalizada por extremo izquierdo y por extremo derecho, y en el cálculo aproximado utilizando 4,8 y 16 rectángulos, Punto medio, regla del Trapecio, regla de Simpson. En base a los distintos cálculos y gráficos se podrá ver la aproximación del área real de la función en dicho intervalo.

El concepto de integral y en general el calculo integral tuvo su origen histórico en la necesidad de resolver problemas concretos, uno de los ejemplos mas característicos es el calculo de área bajo líneas y superficies curvas. Sumando infinitos rectángulos podemos obtener el área bajo una curva. La cosa resulta fácil ahora, pero costó muchos siglos llegar a este resultado que supuso un gran revolución en la cienciainfinitos rectángulosárea bajo una curva En matemáticas, la suma de Riemann( ( metodo-de-sumas.html) es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernard Riemann.matemáticas metodo-de-sumas.htmlsumasalemánBernard Riemann La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande

Comenzaremos viendo en forma generalizada como se presentan las sumas de RIEMANN las cuales nos dan un valor exacto del área de la función en el intervalo cerrado [-1,1]. Primeramente tomaremos el extremo derecho. Para el cual nuestra x será

Al realizar el grafico utilizando el programa geogebra podemos constatar nuestro resultado

Ahora iremos viendo como se desarrollan la sumas de RIEMANN emann a través de la aproximación al área de nuestra función con 4,8 y 16 rectángulos. Comencemos con 4 rectángulos emann Dada la función en el intervalo cerrado [-1,1] La base de cada uno de nuestros rectángulos es ½ por lo tanto ese será nuestro incremento x Comenzaremos tomando el extremo derecho, nuestros intervalos de integración serán Al remplazar en nuestra función obtendremos la altura de nuestros rectángulos

Una vez obtenidos todos los valores remplazaremos en nuestra función realizando la sumatoria para n=4. de lo que obtendremos

El resultado obtenido es entonces: 5/2=2,5 Ahora realizaremos el mismo procedimiento pero tomando el extremo izquierdo en la función. Los intervalos de la función serán entonces: En este caso el único dato que nos hace falta obtener es la altura del rectángulo, remplazando en la función por (-1) Al hacer la sumatoria obtenemos: El resultado obtenido es entonces: 1/2=1,5

Si realizamos el grafico por la suma superior y la suma inferior obtenemos los siguiente Suma superior

Suma inferior

Ahora desarrollaremos para 8 rectángulos, la base de cada uno de nuestros rectángulos será entonces ahora: Realizamos el mismo procedimiento que con 4 rectángulos, vamos remplazando para obtener las alturas de nuestros rectángulos. Como ya habíamos obtenidos los valores anteriores para 0,1/2;1,-1/2.

El resultado del área aproximada es en este caso 15/8=1,87

Ahora realizamos el cálculo por extremo izquierdo, los intervalos por lo tanto serán Como ya habíamos realizado el calculo de las alturas de todos los rectángulos para los valores solo nos queda remplazar en nuestra función El resultado aproximado del área por extremo izquierdo utilizando 8 rectángulos es 7/8=o,875

Como en el ejemplo anterior podemos realizar el grafico utilizando el programa geogebra Suma inferior

Suma superior

Ahora probamos para 16 rectángulos. Aplicando el mismo procedimiento que realizamos con anterioridad Por extremo derecho, obtenemos los siguientes intervalos de integración Vamos remplazando los valores en la función para obtener la altura de los rectángulos. Recordemos que solo obtendremos aquellas que aun no hemos remplazado en la función.

Al realizar la sumatoria obtenemos

El resultado obtenido es entonces 51/32 = 1,59375 Ahora realizamos la suma tomando el extremo izquierdo, nuestros intervalos serán: Remplazamos los valores faltantes y obtenemos

El resultado que obtenemos es entonces 1,09375 como podemos ver al ir aumentando el numero de rectángulos nos vamos acercando al valor del área real de la función en el intervalo [-1,1]

Suma inferior

Suma superior

Ahora realizaremos el calculo de las sumas de RIEMANN pero en este caso utilizaremos el METODO del PUNTO MEDIO Comenzaremos calculando el valor del área para 4 rectángulos de aproximación. Dicha formula para aplicar este método es: Nuestro incremento de x será igual a : 1/2 Dividimos nuestro intervalo [-1,1] en 4 sub intervalos, y tomamos los puntos medios de dichos sub intervalos por lo que obtendremos {

Al aplicar a la fórmula obtenemos: Ahora tomamos para 8 sub intervalos de lo cual obtenemos que el incremento de x será de ¼. Por lo tanto nuestros puntos medios y puntos extremos serán de

Al aplicar la fórmula obtenemos

Ahora calcularemos tomando para 16 sub intervalos, el incremento de x será en este caso de 1/8.por lo que nuestros puntos medios y externos serán: Remplazamos en la función y obtenemos

Al remplazar los valores en la fórmula obtenemos:

Luego al realizar la formula generalizada para el calculo por el punto medio obtenemos

Otro método por el cual podemos averiguar el área de una función bajo una curva es el método de TRAPECIO ] {-1,-3/4, -1/2,-1/4, 0,1/4,1/2,3/4,1} La cantidad de valores que toma la función a reemplazar en la fórmula será de n+1, ya que cada valor de la función representa una de las bases del trapecio.

Ahora realizaremos el remplazo en la fórmula con n=4

Ahora realizaremos el remplazo en la fórmula con n=8

Ahora realizaremos el remplazo en la fórmula con n=16

Si realizamos los respectivos gráficos podemos constatar el cálculo aproximado que obtuvimos en nuestro cálculo analítico Suma trapezoidal con n=4

Suma trapezoidal con n=8

Suma trapezoidal con n=16

Por ultimo daremos otro método el cual se denomina LA REGLA DE SIMPSON Dicha fórmula es la siguiente: La cantidad de subintervalos a elegir, debe ser par por lo tanto la cantidad de puntos a remplazar será impar.Comencemos calculando para 4 rectángulos Al aplicar la formula obtenemos

Tomaremos ahora para 8 rectángulos Al aplicar la formula obtenemos Tomaremos ahora para 16 rectángulos

Al aplicar la formula obtenemos

Conclusión Para finalizar es importante recalcar la evolución de los métodos, ya que demuestra que a medida que se complejiza el cálculo del área debajo de una curva, surge un nuevo método que permite calcular de manera sencilla y práctica dicha área Al finalizar el análisis del área de nuestra función utilizando los distintos métodos conocidos, pudimos apreciar que todos ellos no poseen el mismo grado de exactitud que los otros, inclusive dentro del mismo método la aproximación es muy variada dependiendo de la cantidad de intervalos de aproximación que se utilizan, lo que no lleva a concluir que la elección de un método adecuado se deberá a la complejidad de la función trabaja y del grado de estimación esperado.