Máximo Común Divisor y mínimo común múltiplo

Contenido Introducción Máximo común divisor MCD Métodos de obtención del MCD Mínimo común múltiplo mcm Métodos de obtención del mcm

Introducción Existen diversas situaciones en las que es necesario saber por ejemplo: en cuántas porciones cortar una pizza, un pastel de forma que todos los presentes puedan comer la misma cantidad de porciones.

…. En otras es necesario realizar operaciones básicas como la suma y resta de fracciones heterogéneas, simplificación de fracciones, etc. El Máximo común Divisor y Mínimo Común Múltiplo se aplican para la resolución de problemas relacionados con las situaciones descritas anteriormente

Máximo común divisor MCD El máximo común divisor de dos números es el mayor de los divisores comunes de esos números. Ejemplo: MCD (15,36) = 3 Divisores de 15 Divisores de 36 1 3 3 6 9 18 36 3 5 15 MCD Divisores comunes

Métodos de obtención del MCD Por descomposición en factores primos 2. Algoritmo de Euclides para obtener el MCD 3. Usando el mínimo común múltiplo

Método 1: Por descomposición en factores primos Se descomponen los números en factores primos. Se toman los factores comunes con menor exponente y se multiplica Ejemplo: Hallar el MCD(180, 240, 1400)

Hallar el MCD(180, 240, 1400) Paso 1 descomponemos los números en sus factores primos 180 240 1400 2 90 120 700 2 45 60 350 2 Paso 2 Marcamos los factores primos comunes 45 30 175 2 45 15 175 3 15 5 175 3 5 5 175 5 1 1 35 5 1 1 7 7 1 1 1 Paso 3 Multiplicamos los factores primos comunes y obtenemos el MCD 2  2  5 = 20 MCD

Método 2: Algoritmo de Euclides para obtener el MCD Sean a y b enteros positivos, entonces el máximo común divisor (MCD), de a y b es el último residuo no cero de la aplicación sucesiva del algoritmo de Euclides. MCD(a,b)  MCD(b,c) … Donde c = a mod b, c es el residuo de dividir a entre b,

Por ejemplo: Hallar el MCD de 689 y 234 Por lo que identificamos como MCD a 13, debido a que es el último divisor residuo (módulo) diferente de 0 MCD(689, 234) = MCD(234, 221) = MCD(221,13) = 13 Primero calculamos el módulo entre 689 y 234 el resultado es 221 …. calculamos el módulo entre 221 y 13 el resultado es 0. Luego calculamos el módulo entre 234 y 221 el resultado es 13

Método 3: Usando el mínimo común múltiplo El máximo común divisor también puede ser calculado usando el mínimo común múltiplo. Si a y b son distintos de cero: El máximo común divisor de tres números se puede calcular como sigue:  MCD(a, b, c) = MCD(a, MCD(b, c))

Por ejemplo: Hallar el MCD de 6 y 8 usando el método de mcm 2 3 4 1 Cálculamos el mcm de 6 y 8 mcm(6,8) = 2x2x2x3 = 24

Mínimo Común Múltiplo m.c.m. El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor número de los múltiplos comunes a ellos, distinto de 0. El m.c.m. de dos números primos es el resultado de la multiplicación de ambos Ejemplo: El m.c.m.(13 , 7) =91

Métodos de obtención del mcm Por intersección de conjuntos de múltiplos Por descomposición en factores primos

Método 1: Por intersección de conjuntos de múltiplos Ejemplo Hallar: El m.c.m.(12 , 15) =60 Múltiplos de 15 Múltiplos de 12 24 36 48 72 .. 120 60 15 30 45 75 90…. m.c.m es el menor múltiplos comunes

Método 1: Por descomposición en factores primos Otra forma de encontrar el m.c.m. de dos o mas números es multiplicando los factores primos comunes y no comunes. Ejemplo: mcm(28,10)=2x2x5x7=140 28 10 14 5 7 5 7 1 1 1 2 5 7 Factores primos comunes y no comunes de 28 y 10

Aplicaciones del mínimo común múltiplo Suma de fracciones El m.c.m. se puede emplear para sumar o restar fracciones de distinto denominador, tomando el m.c.m de los denominadores de las fracciones, y convirtiéndolas en fracciones equivalentes que puedan ser sumadas o restadas. 

Ejemplo: Resolver Solución: Calculamos el m.c.m. (12, 20 y 6) es 60, transformando las fracciones se tiene:

Bibliografía Matemáticas B, Pedro Antonio Gutierrez Figueroa, Ed. La hoguera, 2001. Dominando las Matemáticas, AritmeticaII, L. Galdos,2005. Matemáticas 6, Ediciones Santillana, 2000