INTERPOLACIÓN LINEAL

INTERPOLACIÓN Interpolación y Extrapolación. Ya hemos dicho que una función puede venir dada de varias formas: Como enunciado tipo problema de álgebra. Como una ecuación que nos relaciona dos variables. Como una tabla de valores. Como una gráfica. Si nos la dan en forma de enunciado, algebrizamos el texto y obtenemos una ecuación, la cual es la fórmula de la función. Si nos la dan en forma de ecuación, podemos calcular cualquier dato que nos interese saber. Pero si nos la dan en forma de Tabla puede que el valor que queremos saber no se encuentre en dicha tabla. Tendremos entonces que INTERPOLAR o EXTRAPOLAR.

Ejemplo: Sea la población de Palencia a lo largo de los últimos 16 años, dado en forma de tabla y en miles de habitantes. Año 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 Habitantes 71 72 73 74 75 76 77 78 ¿Qué población tenía Palencia en 1995 ? Vemos que ese dato no existe. Existe en 1994 y en 1996, pero no en 1995. Podemos suponer que en 1995 había (75+76) / 2 = 75,5 millones de habitantes. Eso es lo que se llama INTERPOLAR. Como el crecimiento de la población es lineal, el error cometido al calcular así el número de habitantes es nulo. Pero el crecimiento podría haber sido exponencial o cuadrático, en cuyo caso podría habernos dado un serio error. Habrá que distinguir pues la INTERPOLACIÓN LINEAL de la INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA principalmente, sin dejar de tener en cuenta, aunque no sea materia del Bachillerato, que existen otras interpolaciones, como exponenciales, logarítmicas, etc.

EXTRAPOLACIÓN ¿Qué población tenía Palencia en 1980 ? ¿Qué población tendrá Palencia en 2010 ? Vemos que esos dato no existen en la tabla dada, ni tampoco son datos intermedios de otros conocidos. Quedan fuera. Podemos suponer que en 1980 había ( 69 - 1 - 1 ) = 67 millones de habitantes. Podemos suponer que habrá en 2010 ( 78 + 10 ) = 88 millones de habitantes. Esto es lo que se llama EXTRAPOLAR. MUY IMPORTANTE: Si en una Tabla de valores nos dan sólo dos pares de valores (x, y), aplicaremos la INTERPOLACIÓN LINEAL. Si en una Tabla de valores nos dan sólo tres pares de valores (x, y), aplicaremos la INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA, salvo que para iguales incrementos de x haya iguales incrementos de y.

INTERPOLACIÓN LINEAL 17 Sea la Tabla: 13 X Y 1 5 5 13 9 1 5 5 13 Calculamos la pendiente: m=(13-5)/(5-1)= = 8/4 =2 Tomando el punto P(1,5) y la ecuación punto-pendiente: y-yo=m.(x-xo) y-5 = 2.(x-1) y = 2.x – 2+5 y=2.x + 3 Que es la función de interpolación lineal. 0 1 3 5 7 Interpolamos para x=3 f(x) = mx+n f(x) = 2.x + 3 f(3) = 2.3 + 3 = 6 + 3 = 9

EXTRAPOLACIÓN LINEAL 17 Sea la Tabla: 13 X Y 1 5 5 13 9 1 5 5 13 Calculamos la pendiente: m=(13-5)/(5-1)= 2 Tomando el otro punto P(5,13) y la ecuación punto-pendiente: y-yo=m.(x-xo) y-13 = 2.(x-5) y = 2.x – 10+13 y=2.x + 3 Que es la función de interpolación lineal. 0 1 3 5 7 Extrapolamos para x=7 f(x) = mx+n f(x) = 2.x + 3 f(7) = 2.7 + 3 = 14 + 3 = 17

Ejercicio completo 1 Sea la Tabla: Año Habitantes 2001 5000 2002 7000 2001 5000 2002 7000 2003 9000 2005 13000 Tomando los tres primeros datos: Δx = 1 = Cte Δy = 2000 = Cte Podemos hacer una interpolación lineal. y=mx + n Tomo dos de los tres primeros datos: 7000 = m.2002 +n 5000 = m.2001 +n Resuelvo el sistema por Reducción: m = (7000-5000)/(2002-2001) = 2000  De la primera ecuación del sistema: n = 7000-2000.2002 = - 3997000 (Nota: Se podría haber hecho también por la ecuación punto-pendiente). f(x) = 2000.x – 3997000 sería la F. de Interpolación Lineal, que sirve tanto para interpolar como para extrapolar.

Pero sería falsa si no cumpliese que para el año 2005 había 13000 habitantes. La función dada en forma de tabla de valores no sería lineal. Comprobamos: 13000 = 2000.2005 – 3997000 13000 = 4010000 – 3997000  13000 = 13000 Interpolamos para el año 2004, que es un dato que no nos dan: f(2004) = 2000.2004 – 3997000 = 11000 Extrapolamos para hallar la población en el año 2010: f(2010) =2000.2010 – 3997000 = 4020000 – 3997000 = 2.3000 habitantes. En la práctica, con problemas reales, al extrapolar no conviene que el valor de la variable independiente esté muy alejada de los valores mínimos y máximos facilitados en la Tabla pues el error podría ser muy alto si la tendencia no se mantiene.

Ejercicio completo 2 Sea la Tabla: Año Habitantes 2002 7000 2005 13000 2002 7000 2005 13000 En la práctica podemos simplificar mucho las operaciones haciendo el siguiente cambio: 2 7000 5 13000 Como sólo me dan dos pares de valores, realizo una interpolación lineal: y=mx + n Calculo la pendiente: m = (13000-7000)/(5-2) = 6000/3 = 2000 Por la ecuación punto-pendiente: y-yo=m.(x.xo) y-7000 =2000.(x-2) y=2000.x -4000+7000 f(x) = 2000.x + 3000 sería la F. de Interpolación Lineal, que sirve tanto para interpolar como para extrapolar. f(2004)f(4)=2000.4+3000 = 11000 habitantes. f(2010)f(10)=2000.10+3000=23000 habitantes.