Desde los artefactos hasta los instrumentos del trabajo matemático Un cuadro teórico para comprender mejor los procesos de aprendizaje de las matemáticas Luc Trouche luc.trouche@inrp.fr Universités Montpellier-Lyon, France Primer seminario internacional de tecnologías en educación matemática 20 a 23 de julio de 2005, Universidad Pedagógica Nacional, Bogota

Tres tópicos Desde los artefactos hasta los instrumentos del trabajo matemático Un panorama de las investigaciones internacionales y algunas grandes tendencias Una pregunta clave para el acompañamiento de los profesores, es la de los recursos pedagógicos La palabra instrumento viene del latín instrumentum, que significa material, utensilio o recurso y que se deriva del verbo instruere. Este verbo, en francés antiguo enstruire, corresponde a disponer, utilizar y equipar. Así mismo las palabras instrumento e instruir se remiten la una a la otra.

Civilizaciones, herramientas y cálculos Las herramientas  : herramientas para contar en la sociedad, herramientas de calculo para los sabios, han existido siempre ; estos se encargan de una parte del trabajo que ya no se trata de realizar directamente, sino de controlar. L’outil= l’humanité. Citation de Pierre Janet qui voit dans l’apparition du panier la première manifestation de l’intelligence humaine : faire de l’un avec du multiple, transporter le tout d’un point à un autre. Et c’est encore plus vrai pour la pratique des matematicas, qui suppose la mémorisation et le traitement d’une grande quantité d’la informacions. Evoquer les civilisations indiennes, maya… El timith, herramienta de ‘calculo automático del trigo en Alegría (Bourdieu 2003) « El calculo, se ve, se hace solo »

Matemáticas, cálculos y herramientas El cálculo es un componente esencial de las matemáticas en todos los niveles, inseparable de los razonamientos que lo guían o en el sentido inverso que lo sostienen. (Kahane 2002) Une tablette de 10cm x 10 cm, contenant 250 problemas (Nippur, - 2000) Dire que la pratique des matematicas a pour composante essentielle le calcul est un premier parti pris fondamental. Ce point de vue ressort par ejemplo du rapport récent sur le calcul de la Commission de Recherche sur l’Enseignement des matematicas. Le deuxième parti pris est que le calcul a une composante essentielle instrumentée. Le calcul à abaques et le calcul indien (ou à plume), introduit dès la renaissance dans le sud de la France, beaucoup plus tard à Strasbourg (à la révolution française?) par des mesures autoritaires…

Herramientas antiguas, herramientas recientes El aspecto estructurado de las herramientas y la combinación de varias herramientas, son dos características antiguas del calculo Evoluciones importantes con las herramientas informáticas : el agrupamiento de las herramientas en la misma caja ; herramientas portátiles ; la multiplicación de las imágenes ; el cambio de paradigma (de la flecha a la red) Les mathématiciens ne sont donc pas des praticiens aux mains nus. Cette pratique instrumentée a plusieurs caractéristiques, certaines anciennes, d’autres nouvelles: La pratique des matematicas s’accompagne (produit et utilise) de la constitution d’artefactos (symboliques et matériels) puissants, parfois complejos, permettant de soutenir le raisonnement et d’outiller les calculs (cf. la table précédente). Cet outillage à la fois permet la simplification de certaines techniques et exige le développement de nouvelles techniques. La pluralité et la diversité des artefactos qui interviennent. Dans les matematicas babyloniennes, l’écrit, des tables et un instrument de calcul tributaire des doigts de la main. Cette articulation suscite des difficultés que traduisent les erreurs de calcul aux recollements des résultats (5eme position, cf. Proust 2000). Quatre évolutions importantes récentes pour les outils du trabajo matematica : le regroupement des artefactos dans une même enveloppe (tables et instruments de calcul, tables numériques et règle à calcul: c’est un phénomène récent… alors que, de Nippur à 1975, on trabajole avec des artefactos différents), portable (la tendance n’est pas récente, cf. Janet et le panier), multiplication des images (avec un fort pouvoir d’insémination, Sfez) et le paradigme du filet (qui rajoute un niveau d’articulation ou de coordination d’un ensemble - vaste - de résultats). Mayor necesidad de coordinación y control de las herramientas del trabajo matemático

Una fuerte influencia de las herramientas en las matemáticas Efectos en la producción « La geometría del compás » Efectos en los programas de estudio De la pluma de ganso a la pluma de hierro (Lavoie 1994) Teorema de Mohr-Mascheroni (1798) « Toda construcción con regla y compás puede hacerse con el compás solo »  L’influence des artefactos sur la pratique des matematicas est assez évidente. Cela paraît encore plus évident aujourd’hui, puisque tous ceux qui pratiquent les matematicas ont vu leurs ambientes évoluer considérablement. On ne fait pas les mêmes matematicas avec une règle à calcul et avec mathematica. L’effet est aussi important sur la production des matematicas elles-mêmes. J’évoque dans le document les développements de Mascheroni (citer), liés au fait que les constructions au compas sont plus précises que les constructions à la règle. D’où « la géométrie du compas ». Effets sur les programmes d’estudio: Lavoie au Canada, XIX siècle et programmes d’arithmétique. Effet sur la conceptualisation: la transposition informatica produisent des phénomènes bien repérés, liées au pouvoir des représentations très particulières qui sont produites. Apport personnel (calculadoras graphiques, la grande illusion). Pouvoir d’insémination. calculadoras graphiques, définition d’une tangente. Géométrisation des objetos renforcée par les programmes. Quelle prise en compte institutionnelle? Efectos en los modos de trabajo de los estudiantes El fenómeno de la ‘pesca’ (Artigue 1998) Efectos en la conceptualizacion « Une recta es tanto mas tangente a un circulo como mas tenga puntos comunes con este » . (Trouche 1996)

Acción y conceptualizacion Un esquema : la organización invariante de la conducta para una clase de situaciones (Piaget 1936, Vergnaud 1996) Contiene : metas y anticipaciones ; reglas de acción invariantes operativas. gestes relativement requis-invariants opératoires (instituent), invariants opératoires-gestes (guident). « Por aproximaciones sucesivas, la mano encuentra el gesto justo. La mente registra los resultados y extrae poco a poco el esquema eficaz ». (Tchouang-Tseu, in Billeter 2002) Naturaleza instrumentada y social de los esquemas (Rabardel 1995)

Un antiguo enfoque teórico Una tradición doble : el ‘trabajo abstracto’ del pensamiento (Hegel) ; - el ‘hacer industrial’ (Descartes, Diderot, Marx). “Nec manus, nisi intellectus, sibi permissus, multum valent : instrumentis et auxiliis res perfectur” (Francis Bacon 1600) « La mano y la inteligencia, sin herramientas necesarias, siguen siendo incapaces ; lo que refuerza su poder son las herramientas y las ayudas que da la cultura ». « La elipse es una línea curva que vi dibujar por los jardineros en los jardines, en donde la describen de forma bastante burda pero que hace comprender mejor su naturaleza ». La Dioptrique, Discours VIII (Descartes 1637) L’approche instrumentale qui structure ce qui va suivre, dans ses fondements, n’est pas nouvelle. Elle s’enracine dans une double tradition : la tradition d’Hegel, qui évoque le trabajo abstrait de l’esprit, et la tradition du trabajo concret avec les outils, que l’on retrouve par ejemplo dans les relations entre Descartes et les artisans. On retrouve cette double filiation dans les travaux de Vygotsky, qui situe tout proceso d’aprendizaje dans un monde de culture où les instruments jouent un rôle essentiel. Ce qui est plus récent, c’est le développement de cette approche en relation avec une évolution des estudios didactiques, accordant une importance croissante aux médiations, constitutives de tout proceso d’aprendizaje et une évolution plus générale des approches des ambientes informaticas, anthropo-centrées plutôt que techno-centrées. Heredero de esta tradición, Vygotski sitúa todo aprendizaje en un mundo de cultura en donde los instrumentos (materiales y sicológicos) juegan un papel esencial.

Un enfoque teórico actualizado (Rabardel 1995) Una distinción fundamental entre el artefacto, que esta dado, y el instrumento, que lo construye el usuario Los artefactos son proposiciones para la acción, que el usuario empleara o no Artefacto Instrumento Génesis instrumental Los instrumentos son entidades mixtas, compuestas de una parte de artefacto y de esquemas de utilización L’approche instrumentale qui structure ce qui va suivre, dans ses fondements, n’est pas nouvelle. Elle s’enracine dans une double Ce Del artefacto a un instrumento Dos procesos duales instrumentación ; instrumentalización.

Los procesos de instrumentación en los aprendizajes matemáticos Un artefacto instrumenta al sujeto, pre-estructura, relativamente, su actividad, influye en los esquemas que va a construir Comprender ese proceso supone el estudio de las limitantes del artefacto, ligadas a las limitaciones materiales y a las selecciones del disenador Artefacto Instrumento L’instrumentacion : comprendre l’influence des artefactos sur l’actividad des estudiantes suppose une analyse des limitaciones (évoquer la typologie, trois niveaux de limitaciones), estudio de limite dans des ambientes différents. actividad relativement requise (voir le calcul de dérivée). Insister sur des « instruments pour faire qq chose » Phrase de Noss et Hoyles, et discussion à CAME : instrumenter, instrumentaliser, péjoratif… est-il besoin de nommer pour analyser ? La réponse : oui. Les deux imbriquées, mais intérêt de les distinguer, pour localiser le regard. La genèse vue comme un ensemble de rétroactions : artefacto-sujet-artefacto, ou plutôt gestes relativement requis- invariants opératoires (instituent), invariants opératoires-gestes (guident). « Tener un limite infinito supone, para una función, ser creciente a partir de un momento dado »

Analizar las limitaciones de los artefactos Debe tomar en cuenta la transposición informática : «  Es el trabajo sobre el conocimiento que permite una representación simbólica y la aplicación por un dispositivo informático » (Balacheff 1994) Debe analizar las limitaciones : limitaciones internas ; limitaciones de comando ; limitaciones de organización (cf. las calculadoras ‘graficas’) Typologie des limitaciones, empruntée à Rabardel. Les phénomènes didactiques: double référence, pseudo-transparence, etc.

Los procesos de instrumentalizacion en los aprendizajes matemáticos La instrumentalizacion es un proceso de diferenciación de los artefactos Ejemplo de calculadoras : almacenamiento de juegos, de teoremas, dibujos, modificación de la barra de menús… Instrumento Artefacto Puede considerarse como un desvió, o como una contribución del usuario al proceso mismo de diseño del instrumento

Hacia sistemas de instrumentos 1 artefacto  1 instrumento ? Eso depende de las praxeologias (Chevallard) : organizaciones matemáticas instituidas en la clase ambiente(s) Artefacto Diferentes artefactos presentes Papel/lápiz, calculadoras, etc. Génesis instrumental Esquemas sociales Los esquemas se construyen con frecuencia en varios ambientes a considerar (la clase, los compañeros…) Instrumento Los sistemas de instrumentos Un reto didáctico Artefactos y instrumentos

Las consecuencias de este enfoque teórico Artefacto Instrumento Génesis instrumental Dos consecuencias mayores : 1) La necesidad de un análisis preciso de los artefactos (comprender, anticipar una parte de los procesos de instrumentación, concebir los situaciones de aprendizaje) 2) La necesidad de un análisis de sus usos (legitimar, o no, los procesos de instrumentalizacion de los estudiantes, enriquecer los instrumentos en construcción en la clase, concebir artefactos nuevos) Artefactos y instrumentos

Una complejidad cada vez mayor de las herramientas Un mismo objeto, diferentes representaciones Un control complejo a ejercer…

Una dispersión cada vez mayor de los modos de trabajo de los estudiantes Calcular la derivada enésima de… Poder introducir los datos Saber analizar la información Saber organizar la información Saber coordinar y comparar Saber recurrir a conocimientos previos Saber inferir Saber probar Saber controlar un resultado

Un reto para el sistema educativo Artefactos mas complejos, cual es la evolución de los instrumentos ? * Desarrollo de los instrumentos, enriquecimiento y articulación... * … o debilitamiento de los instrumentos. 1) Cuanto más complejo es el ambiente, más importante es la separación entre los instrumentos 2) Gran sensibilidad de los modos de trabajo en ciertos dispositivos didácticos instituidos por el profesor

Un programa de seminario muy intenso y completo… Algunas preguntas Cuales son los avances actuales en la enseñanza en los diferentes ambientes (software de geometría, hojas de calculo, etc.) Cual es la evolución de las investigaciones didácticas a nivel internacional ? Como ayudar las génesis instrumentales de los estudiantes, como acompañar a los profesores ? Cuales son las evoluciones, necesarias y efectivas, de los programas ? Un programa de seminario muy intenso y completo…

Referencias útiles luc.trouche@inrp.fr Trouche L. 2002, actividads mathématiques et entornos calculatrice : ouvertures et fermetures, Mathématiques et pédagogie, 17-44 Trouche L. 2004, entornos informatisés et mathématiques : quels usages pour quels apprentissages, Educational Studies in Mathematics 55, 181-197 Trouche L. 2004, Managing complexity of Human/Machine Interactions in Computerized Learning Environments, International Journal of Computers for Mathematical Learning 9, 281-307 Guin D., Ruthven K. & Trouche L. (eds.) 2004, The Didactical Challenge of Symbolic Calculators, Turning a Computational Device into a Mathematical Instrument, SpringerVygotski L.S., 1934, Pensée et langage. Editions Sociales (1985) Rabardel P., 1995, Les hommes et les technologies, approche cognitive des instruments contemporains. http://ergoserv.psy.univ-paris8.fr

Desde los artefactos hasta los instrumentos del trabajo matemático Un panorama de las investigaciones internacionales y algunas grandes tendencias Luc Trouche luc.trouche@inrp.fr Universités Montpellier-Lyon, France Primer seminario internacional de tecnologías en educación matemática 20 a 23 de julio de 2005, Universidad Pedagógica Nacional, Bogota

Segundo topico Desde los artefactos hasta los instrumentos del trabajo matemático Un panorama de las investigaciones internacionales y algunas grandes tendencias Una pregunta clave para el acompañamiento de los profesores, es la de los recursos pedagógicos Los herramientas juegan un rol muy importante en la práctica, en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Comprender su influencia requiere de diferenciar el artefacto (el objeto material) y el instrumento, construido por el usuario en el desarrollo de su actividad. La construcción de instrumentos, individual y socialmente, combina dos procesos : un proceso de instrumentación, dirigido al individuo, y un proceso de instrumentalización, dirigido al artefacto.

Un estado del arte (Francia-España 2004) Un importante contraste entre la difusión en la sociedad de la tecnología y su integración escolar, algunos indicadores :

La resistencia de los profesores Herramientas más y más presentes Herramientas más y más complejas Una apropiación rápida por los estudiantes Las dificultades de los profesores « Para el profesor formado en el rigor de la disciplina matemática, la introducción de la regla de calculo en educación media puede constituirse en un autentico dilema ». Aristo, Boletín de información para los profesores (Bieber 1971) … : herramientas secundarias Esporádica, transitorias, Bien integradas 1970 : herramientas ausentes ‘matemáticas modernas’ Periodo de transición 1980 : herramientas prescritas Plan Informática por Todos Irrupción de los calculadoras Aceleración tecnológica, Introducción en las clases por los estudiantes Mas dificultades

Las preguntas generales Como las TIC (Tecnologías de la Información y de la Comunicación) son utilizadas en la enseñanza de las matemáticas ? Lo que cambia : la naturaleza, los contenidos y las modalidades de los aprendizajes ? el conocimiento adquirido, las actitudes y las relaciones con el saber de los estudiantes y profesores ? Poner en evidencia algunas condiciones nécesarias de viabilidad de las TIC en la ensenanza de las matematicas

Necesidad de dar un paso atrás « Sobre las preguntas educativas, la cantidad de trabajos producidos los 30 anos anteriores es muy considerable, y por tanto, su interacción y su visibilidad son muy imperfectos, es en este punto que los investigadores y los administradores tiene la impresión de estar trabajando siempre las mismas preguntas » La Recherche, 1998, Preguntas en educación Estudio en dos tiempos : las experiencias francesas, después un estudio de las investigaciones internacionales

Las experiencias francesas Calculadoras graficas, hipótesis Las ilusiones iniciales : Producto amigable, de rápido acceso, manipulación directa Libera de tareas técnicas (calculo, elaboración de graficas) Favores un nuevo trabajo interno en el registro grafico y un trabajo acerca del cambio de registro (Duval 94) Permite acceder à situaciones mas complejas y entrar en un enfoque experimental Una idea implícita en el discurso internacional : ver permite comprender Ilusiones que se basan en muchas experiencias, realizadas por profesores voluntarios entusiastas

Las experiencias francesas Calculadoras graficas, algunos resultados Desilusiones, debidas a una toma de conciencia progresiva : El aprendizaje del uso se sale de las manos del profesor Una idea muy fuerte: lo que se ve es la realidad Influencia del movimiento en la conceptualizacion Poca conciencia de las contradicciones internas Poca conciencia de las contradicciones con el entorno de papel y lápiz Estas preguntas surgen al mismo tiempo que la generalización del uso de las calculadoras debido a las prescripciones de los programas  (ya no es únicamente un asunto de profesores pioneros…)

Las experiencias francesas Geometría dinámica, hipótesis Una ayuda a la actividad geométrica de los estudiantes Producto más amigable, de acceso rápido Acceso à la noción de clase de figuras por medio de la manipulación (invariante durante el desplazamiento) Acceso à situaciones más complejas y entrada en una practica experimental Se modifica el estatuto de la figura: se pone el acento en la manipulación Modificación del contrato didáctico : un cuadrado se considera como tal únicamente si se conserva al arrastrar los puntos

Las experiencias francesas Geometría dinámica, algunos resultados Nuevas condiciones para las actividades geométricas Se favorece la actividad geométrica Dificultades debidas a las representaciones internas de los objetoos (puntos de base/puntos dependientes, transferencia de medidas) Búsqueda paso à paso : dificultad para encontrar la construcción geométrica La validación empírica hace inútil la validación matemática Dificultad de gestión de la articulación entre las diferentes fases (exploración, demostración, institucionalización) Una necesidad de repensar el tiempo de aprendizaje y las situaciones matemáticas

Las experiencias francesas Derive (SCS), hipótesis Un entorno que libera de las tareas técnicas Un enfoque mas experiméntale Problemas mas ricos, mas complejos Adaptado al funcionamiento individual del sujeto Compensa las dificultades técnicas de los estudiantes débiles (‘muleta’) Posibilidad de centrarse en un funcionamiento mas reflexivo y conceptual La visualización favorece la conceptualizacion Experimentación en colaboración entre el Ministerio de Educación de Francia, un equipo de investigación de didáctica de las matemáticas y los IREM (1996-1998)

Las experiencias francesas Derive (SCS), algunos resultados Fenómenos debidos a la coexistencia Derive/papel y lápiz: La doble-referencia, debida a la doble interpretación de las tareas La pseudo-transparencia, debida a la diferencia entre lo que el estudiante escribe y lo que aparece en la pantalla. Un nueva economía del trabajo matemático (Artigue) Atomización de la resolución en acciones elementales sin coherencia Dificultad de la gestión de la articulación entre las diferentes fases (exploración, demostración, institucionalización) Una disociación técnico/conceptual imposible en la construcción de conceptos Fenómenos que llaman la atención sobre la transformación de los conocimientos y de los modos de trabajo

La solicitud del Ministerio : Un estudio del estado de las investigaciones internacionales Una repuesta al Ministerio de Educación La solicitud del Ministerio : Como se usan las TIC en el sistema educativo? Las TIC modifican la naturaleza de los contenidos et les modalidades de los aprendizajes al igual que sus conocimientos, la relación con el Saber et las actitudes de los estudiantes, y de los profesores ? Una respuesta que implica todos los equipos franceses que trabajan en ese campo Grenoble (Cabri), Paris (Derive), Montpellier (calculadoras), Le Mans (tutorials) Un método El análisis de un vasto corpus de artículos de investigación (538) consagrados a esta pregunta en un conjunto de revistas internacionales significativas, publicados durante un periodo dado (1992-1998)

Un estudio del estado de las investigaciones internacionales La repartición de los artículos por tipo de tecnología Una cantidad importante de artículos sobre los calculadoras simbólicos durante el periodo elegido

Un estudio del estado de las investigaciones internacionales Primeras ideas Primera etapa, para todos los artículos, realización de una ficha de identificación : Precisando el tipo de articulo (descripción de una experiencia; presentación de un producto; investigación) la presencia o no de marcos teóricos, de una problemática, de una validación de las hipótesis enunciadas Conclusiones : Los marcos teóricos están a menudo implícitos o solo se evocan brevemente problemáticas vagas, hipótesis optimistas y poco validadas Predominio de los enfoques cognitivos (con un poder de visualización poco cuestionado) Pero también evoluciones sensibles durante el ultimo periodo y la emergencia de nuevos enfoques teóricos, que manifiestan una perdida de neutralidad de las herramientas y una concepción de las relaciones dialécticas entre percepción y conceptualizacion

Un estudio del estado de las investigaciones internacionales Análisis mas detallado de una parte de los artículos Para las problemáticas del sub-corpus Calculo Simbólico (146 artículos) : ausencia total de problematisacion : 53% innovaciones argumentadas : 9% trabaos basados en hipótesis de mejoras : 12% trabaos centrados en un cuestionamiento : 31% trabaos centrados en la integración : 7% Visiones optimistas, validaciones ‘a la ligera’, pero una evolución hacia hipótesis y preguntas y algunos trabajos recientes centrados en la incorporación

Las TIC son concebidas al servicio del aprendizaje Un estudio del estado de las investigaciones internacionales Resultados globales Las TIC son concebidas al servicio del aprendizaje El profesor; un actor muy poco problematizado (en el análisis de sus interacciones con los estudiantes, en el análisis de su trabajo; en el estudio de sus procesos de desarrollo y de formación) Las mejoras que aportan las TIC, pregunta o postulado ? Una variable que separe claramente dos tipos de trabajo Perspectivas diferentes según el tipo de tecnología Por un lado : las calculadoras, los sistemas de calculo simbólico y las hojas de calculo, que no han sido concebidas para la enseñanza. Son objetoo de cuestionamiento, y la idea dominante es que su uso podría hacer ganar tiempo Por otro lado, los programas de geometría, que fueron concebidos para la enseñanza. La idea dominante es que permiten ganar en comprensión, pero no en tiempo

De 1992 a 1998, a nivel internacional, une sensibilidad creciente : Un estudio del estado de las investigaciones internacionales Un evolución clara en el tiempo De 1992 a 1998, a nivel internacional, une sensibilidad creciente : a las preguntas de orden semiótico et à la consideración de las herramientas ; a las preguntas de transposición informática del saber ; al carácter contextualizado de los conocimientos (lo que se aprende en un contexto no se transfiere automáticamente a otros contextos) ;  à la necesidad de concebir situaciones que tengan en cuenta los ambientes tecnológicos; à la complejidad del rol del profesor y a la inadecuación de las practicas de formación. Esta evolución internacional va de la mano con la integración de las TICE en las clases ‘ordinarias’ con profesores ordinarios (saliendo de los dispositivos experimentales)

Tres preguntas muy poco estudiadas : Un estudio del estado de las investigaciones internacionales Procesos aun embrionarios Tres preguntas muy poco estudiadas : Cual es el lugar oficial, legitimo que debe darse a las técnicas basadas en la utilización de las TIC, cual es la articulación que debe darse con las técnicas « tradicional » ? La integración de las TIC se traduce en una ganancia o en una perdida de tiempo, como se modifica el tiempo del estudio ? Que dispositivos de enseñanza, como se modifica el espacio de la clase ? Un comprensión del integración de las TIC dentro de una red compleja de interacciones (estudiantes, saber, profesores) y una percepción de la dificultad de tener en cuenta esa complejidad. La aparición de nuevos marcos teóricos para analizar esa complejidad, en especial el enfoque instrumental

Próximo tema Me gustaría retomar estas tres preguntas : Cual es el lugar oficial, legitimo que debe darse a las técnicas basadas en la utilización de las TIC, cual es la articulación que debe darse con las técnicas « tradicional » ? La integración de las TIC se traduce en una ganancia o en una perdida de tiempo, como se modifica el tiempo del estudio ? Que dispositivos de enseñanza, como se modifica el espacio de la clase ? Desde los siguientes puntos de vista : Como concebir nuevos recursos pedagógicos para la enseñanza de las matemáticas en los nuevos entornos (software, Internet) ? Que nuevas practicas profesionales ? Que tipo de organización de la clase?

Referencias útiles luc.trouche@inrp.fr Lagrange J.-B., Artigue M., Laborde C. & Trouche L. 2003 Technology and Mathematics Education: a Multidimensional Study of the Evolution of Research and Innovation, in A. Bishop, M.A. Clements, C. Keitel, J. Kilpatrick & F.K.S. Leung (eds.), Second International Handbook of Mathematics Education, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, pp. 239-271 Drijvers P., Barzel B., Maschietto M. & Trouche L. (eds.) 2005 Tools and Technologies in Mathematical didactics, Working Group on Technologies in Mathematics Teaching, CERME 4 (European Research on Math Education) Archivos electrónicas disponibles

Desde los artefactos hasta los instrumentos del trabajo matemático Una pregunta clave para el acompañamiento de los profesores, es la de los recursos pedagógicos Luc Trouche luc.trouche@inrp.fr Universités Montpellier-Lyon, France Primer seminario internacional de tecnologías en educación matemática 20 a 23 de julio de 2005, Universidad Pedagógica Nacional, Bogota

Tercer tópico Desde los artefactos hasta los instrumentos del trabajo matemático Un panorama de las investigaciones internacionales y algunas grandes tendencias Una pregunta clave para el acompañamiento de los profesores, es la de los recursos pedagógicos La construcción de los instrumentos del trabajo matemático, a partir de los artefactos disponibles en el entorno del estudio, es un proceso complejo para los estudiantes ; guiar esta construcción es una tarea difícil para los profesores. Supone un reacondicionamiento del espacio y del tiempo del estudio. Cuáles situaciones matemáticas concebir ? Cual dispositivos implementar en la clase ? Como suscitar y integrar las iniciativas de los estudiantes y de los profesores ?

Dos preguntas mas ¿Mediante que estrategia han logrado que los profesores cambien sus estructuras mentales y se motiven a utilizar las TIC en el aula? Pr Hector Las nuevas generaciones de maestros pueden tener un mayor conocimiento, aceptación y uso en el aula de las TIC. ¿ Como lograr que el maestro de la educación básica trascienda la utilización de las TIC y genere una reflexión teórica acerca de su actividad con las TIC? Pr Armando

Integración y viabilidad de los objetos informáticos… … el problema de la ingeniería didáctica (Chevallard 1992) La integración de las TIC supone un trabajo importante sobre las condiciones de esta integración. Un peligro : la atención exclusiva hacia a la renovación de los contenidos matemáticas Tres niveles para tener en cuenta esta integración : El hardware didáctica (es decir el material, los software, los modos de utilización) El software didáctica (es decir las situaciones matemáticas) El sistema de explotación didáctico, que permite la implementación de las situaciones en un entorno dado. Tercer nivel se menciona pocas veces en las actividad propuestas, como si fuera obvio. Sin embargo es mas complejo.

Etapa 1 Concebir situaciones matemáticas Todo conocimiento matemático se puede modélizar por una situación dada (Brousseau) Esta situación constituye un reto para les estudiantes, su estudio se realiza bajo la forma de un juego, con reglas precisas Resolver este problema necesita que los estudiantes construyan este conocimiento, que es la clave de la resolución optima Es una paradoja : se les pide a los estudiantes resolver un problema, y esta resolución supone disponer de un conocimiento que los estudiantes no tienen… Pero la paradoja es la base del constructivismo : los verdaderos conocimientos son los que uno mismo construye, para contestar preguntas que uno realmente se planta…

Etapa 1 Concebir situaciones matemáticas, un ejemplo para la proporcionalidad La situación : construir un nuevo rompe- cabeza , similar a este, con AB = 5 cm Primera idea : añadir 2 cm a todas las dimensionas… Resultado : malo, el rompe-cabeza … ya no es uno .. ! Segunda idea : arreglar un poco las cosas, por que las piezas puedan juntarse… Resultado : el nuevo rompe- cabeza no se parece al antiguo ! Etc… En cada etapa, los estudiantes pueden ellos mismos validar sus métodos. Poco a poco aparece la noción de proporcionalidad, como una necesidad por resolver el problema.

Etapa 1 Concebir situaciones en entornos informatizados… Hay que concebir de ahora en adelante situaciones que tenga en cuenta dos elementos : el conocimiento matemático buscado ; las limitaciones y las potencialitas del software utilizado. Ejemplo 1 : el estudio de los limites comparados de la función exponencial y de las functións potencias, con el software Derive Ejemplo 2 : el introducción de la translación con el software Cabri, a partir del cubrimiento del plano por cuadriláteros cualquiera

Etapa 2 Escribir las instrucciones para los estudiantes El profesor va a escribir una ficha estudiante, con las instrucciones que describen el trabajo por hacer Es una etapa esencial, hay que preparar la transferencia del problema a los estudiantes, de tal manera que lo consideren como el suyo ficha estudiante ficha profesor El profesor va a escribir también una ficha profesor : Elementos que el profesor quiere conservar (pistas para soluciones, referencias teóricas, etc.) para el-mismo, o para compartir con colegas

Etapa 3 Describir el organización del trabajo en la clase Como para una película, a partir de una historia (el problema a resolver), hay que prever un libreto de utilización Cual será la forma de cortar en varias secuencias el tiempo de trabajo ? En cada secuencia, cuales serán las responsabilidades del profesor y de los estudiantes ? Como serán organizados los estudiantes, entre ellos y con los diferentes artefactos disponibles, lo que yo llamo la orquestration de este entorno ? ficha estudiante ficha profesor libreto de utilización Esta libretization es siempre útil para preparar la clase, se vuelve indispensable en un entorno complejo

Etap4 3 En los libretos, las orquestrations Escoger una orquestration, es escoger un ordenamiento didáctico de los estudiantes y de los artefactos. Entre los ordenamientos posibles, es útil de privilegiar los que permiten seguir los procesos de instrumentalizacion de los estudiantes.

Etapa 4 Permitir la evolución del recurso La realización del actividad por los estudiantes causa siempre sorpresas a veces la tecnología tiene reacciones no previstas ; a veces el libreto parece no adaptado ; la realización de un informe de experimentación permite memorizar estos elementos para otra oportunidad, o revisar el libreto de utilización. ficha estudiante ficha profesor libreto de utilización informe de experimentación Realizar un informe de experimentación, es una garantía para disponer de recursos pedagógicos vivos, que evolucionan con los usos, es también el medio para que otros profesores aprovechen de la experiencia.

Este trabajo de creación es imposible para un profesor aislado Etapa 5 Mutualizar ! Este trabajo de creación es imposible para un profesor aislado Encontrar una ideé de situación no es fácil (en los libros, en la Web) ; Redactar un libreto, hacerlo evolucionar, es mas interesan si se comparte con otros ; en cambio, uno se beneficia de la experiencia y de los recursos realizados por otros ; Surge la idea de un vivero de recursos, compartidos por comunidades de docentes ficha de identificación ficha estudiante ficha profesor libreto de utilización informe de experimentación ficha técnica Esto supone complementar el recurso con une ficha técnica (dando información sobre le software utilisizado) y con une ficha de identificación, que describe el recurso para usuarios potenciales

Una nueva concepción de los recursos pedagógicos Concebir los recursos pedagógicos como artefactos, que se constituyen en instrumentos dentro comunidades de práctica Instrumentalización y instrumentación… Una comunidad de practica que necesita orquestrations a otro nivel (dispositivos de capacitación, Web comunidades…) Un vivero de recursos pedagógicos incluyendo libretos de utilización y informe de experimentación

Una ilustración en Montpellier, el SFoDEM Para ayudar los docentes de matemáticas a integrar las TIC en su enseñanza, el IREM a creado el SFoDEM (Seguimiento de Capacitación a Distancia de los Docentes de Matemáticas) Este dispositivo a reunido cada año desde 2000 un centenar de docentes, acompañados por una decena de tutores La formación se hacía barro la forma de practicas, y de un seguimiento à distancia vía Internet El objetivo era concebir recursos pedagógicos integrando las TIC, experimentarlos y hacer los evolucionar en un marco collaborativo Este trabajo desemboco en el modelo de recursos

Lecciones mas genérales Una necesidad de una evolución de las practicas profesionales en los nuevos entornos tecnológicos Una evolución que supone nuevos recursos pedagógicos No hay un modele universal para estos recursos, esto depende de los ambientes tecnológicos, de las prescripciones institucionales y de la necesidad de cada comunidad de docentes Lo importante es que la estructura de los recursos permita su reutilización, su mutualizacion y su evolución Esta realización de recursos pedagógicos en matemáticas es un proceso complejo, que necesita el trabajo de equipos pluridisciplinarios (informáticos, matemáticos, didácticos) y de comunidades de docentes bien organizadas (universidades pedagógicas, estructuras de formación)

Ultimo preguntas para el panel Cuales son las evoluciones de los curriculos necesarios para tener en cuenta la evolución de los ambientes tecnológicos, en la escuela y la sociedad ? Como acompañar las evoluciones necesarias de las practicas profesionales ? Podemos contemplar evoluciones curriculares en matemáticas sin cambiar les curriculums en las otras disciplines científicas ?

Un citación como conclusión Hace muchos anos, yo les decia a mis estudiantes : « tomen un hoja de papel y dibujen-me un mondo social ». Casi todos hacían une pirámide. Cada vez mas, para reempacar une imagen por otra, veo el monde social como un móvil de Calder, donde habría especies de pequeños universos que se pasean los unos en relación con los otros en un espacio con varias dimensiones (Bourdieu)

Referencias útiles luc.trouche@inrp.fr Guin D., Joab M. & Trouche L. 2003, SFoDEM (Suivi de Formation à Distance pour les Enseignants de Mathématiques), bilan de la phase expérimentale, CD-Rom, IREM, Université Montpellier II Combes M.-C. & al 2005, ‘Formación a distancia de los profesores de matemáticas : hacia nuevas practicas profesionales’, Proyecto Interreg-Transforma, Barcelona, UOC.