SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN Tema 16.5 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN Imaginemos un arco de la curva expresada de forma explícita y = f(x). La hacemos girar alrededor del eje de abscisas entre x=a y x=b. Se habrá generado un cuerpo de revolución ( puede ser un cilindro, un cono, un tronco de cono, una esfera, un “balón de rugby”, o miles más de todas las formas imaginables ). El área de la superficie así generada por la curva y = f(x) definida en un intervalo [a, b], al girar en torno del eje OX se calcula con la formula: b b Área = 2.π. ∫ y.√(1+(y’)2 )dx = 2.π. ∫ f(x).√ (1+ [ f ’(x) ] 2 ) dx a a cuyos pasos para resolver la integral son los mismos que para el cálculo de áreas, sin más que hallar y’ =f’(x)=dy/dx y elevarla al cuadrado previamente. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO_1 2 Hallar el área de la curva: y= √x Entre los puntos A(0,0) y B(4,2) El área generada será: 4 A = 2.π. ∫ f(x).√ (1+ [ f ’(x) ] 2 ) dx y’ = 1 / 2.√x A = 2.π. ∫ √x. √ [ 1 + (1 / 2.√x)2 ]. dx = 4 4 = 2.π. ∫ √x. √ [ 1 + 1 / 4x ]. dx = 2.π. ∫ √ [ x + 1 / 4 ]. dx ; 0 0 4,25 4,25 Cambio: x+0,25 = t ; dx = dt  2.π. ∫ √ t . dt = 2.π.(2/3).[ t3/2 ] = 36,177 0,25 0,25 y= √x 0 1 2 3 4 x -2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO_2 4 Hallar el área de la curva: y= x2 Entre los puntos A(0,0) y B(2,4) El área generada será: 2 A = 2.π. ∫ f(x).√ (1+ [ f ’(x) ] 2 ) dx ,, y’= 2x 2 2 A = 2.π. ∫ x2 √ [ 1 + (2x)2 ]. dx = 2.π. ∫ x2 .√ (1 + 4.x2 ) dx = … 0 0 y= x2 0 1 2 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO_3 Hallar el área engendrada por la rotación entorno al eje X de la curva: 9.y2 = x.(3 – x)2 y2 = (1/9).x. (3 – x)2  Corta en x= 0 y en x = 3 y=± (1/3). √x. (3 – x) Consideramos la rama positiva. y ’ = (1/3). (1 / 2√x). (3 – x) + (1/3).√x. (– 1) 3 – x √x (y ’)2 = (--------- – -------)2 6√x 3 El área será: 3 (3 – x)2 x 3 – x A = 2.π ∫ (1/3). √x. (3 – x). √ [ 1 + ---------- + ------- – ---------- ]. dx = 0 36.x 9 9 3 36.x + 9 – 6x + x2 + 4.x2 – 12.x + 4x2 = 2.π ∫ (1/3). √x. (3 – x). √ [ ------------------------------------------------ ]. dx 0 36.x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. … 3 9.x2 + 18.x + 9 = 2.π ∫ (1/3). √x. (3 – x). √ [ -------------------- ]. dx 0 36.x 3 x2 + 2x + 1 = 2.π ∫ (1/3). √x. (3 – x). √ [ ---------------- ]. dx 0 4.x 3 (x + 1) = 2.π ∫ (1/3). √x. (3 – x). ------------. dx 0 2. √x 3 = 2.π ∫ (1/6). (3 – x). (x + 1). dx 3 3 = 2.π (1/6). ∫ (2.x + 3 – x2 ) dx = 2.π.(1/6).[ x2 + 3x – (1/3).x3 ] = 3.π u2 0 0 0 1 2 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. LONGITUD DE UN ARCO LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA EN EL PLANO Sea una curva (función) expresada en forma explícita: y = f(x). Si la función, en lugar de representar una curva, representara a una línea recta, la longitud del segmento AB sería: |AB| = √[(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 ], como se vió en cursos pasados. Donde A(x1 – y1) y B(x2 – y2) Se fundamentaba en que la medida del segmento AB era hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos eran los incrementos de las variables: |AB| = √ [ (Δx)2 + (Δy)2 ] Pues bien, en el caso de curvas en el plano, la longitud del arco se halla de forma muy similar. En lugar de los incrementos utilizamos las diferenciales, dx y dy: b b dy Longitud AB = L = ∫ √ [(dx)2 + (dy)2 ] = ∫ √ [ 1 + (------)2 ]. dx a a dx Siendo a= xa y b=xb ; y sabiendo que f ’(x) = dy / dx. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO_1 Hallar la longitud de la curva: y= √x Entre los puntos A(1,1) y B(4,2) La longitud será: 4 dy L = ∫ √ [ 1 + (------)2 ]. dx 1 dx Como dy / dx = y’  y’ = 1 / 2.√x 4 L = ∫ √ [ 1 + (1 / 2.√x)2 ]. dx = 1 4 4 = ∫ √ [ 1 + 1 / 4x ]. dx = [ x + ¼ lnx] = 1 1 = (4 + 0,25.ln4)–(1+0,25.ln1)= 3+0,25.1,3862 = 3,3466 2 1 y= √x 0 1 2 3 4 X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO_2 Hallar la longitud de la curva: y= x2 Entre los puntos A(-1,1) y B(2,4) La longitud será: 2 dy L = ∫ √ [ 1 + (------)2 ]. dx -1 dx Como dy / dx = y’  y’ = 2x 2 L = ∫ √ [ 1 + (2x)2 ]. dx = -1 2 2 = ∫ √ [ 1 + 4x2 ]. dx = [ x + 4. x3 / 3 ] = -1 -1 = (2 + 4.8/3)–(-1-4.1/3)= 38/3 + 7/3 = 45/3 = 15 Mal ????? 4 y= x2 1 -2 -1 0 1 2 X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.

Matemáticas 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO_2 Hallar la longitud de la curva: x2 y2 ----- + ------ = 1 , para valores de y positivos, entre los puntos x= -2 y x=4 25 16 Operando: 16.x2 + 25.y2 = 400  y = √ (400 – 16.x2) / 5 = (4/5). √ (25 – x2) y ’ = dy / dx = - 4.x / 5.√ (25 – x2) La longitud será: 4 dy L = ∫ √ [ 1 + (------)2 ]. dx -2 dx 4 L = ∫ √ [ 1 + [- 4.x / 5.√ (25 – x2)]2 ]. dx = -2 = ∫ √ [ 1 + 16x2 / (625 – 25.x2 ) = = ∫ √ [ (625 – 9.x2 ) / (625 – 25.x2 ) = 4 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 X @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato C.T.