VARIABLE ALEATORIA Y DISTRIBUCIÓN NORMAL IV° MEDIO VARIABLE ALEATORIA Y DISTRIBUCIÓN NORMAL

1. Variable aleatoria Variable aleatoria Un experimento aleatorio es cualquier procedimiento cuyo resultado no se puede predecir y un evento o suceso es un resultado específico dentro de dicho experimento. Una variable aleatoria es la función que asocia un evento con un valor numérico, por lo cual el dominio de la variable aleatoria corresponde al espacio muestral del experimento (conjunto de todos los resultados posibles) y el recorrido corresponde a todos los valores que toma esta variable aleatoria. Ejemplo: Un experimento aleatorio es “lanzar un dado dos veces”. El espacio muestral del experimento es: {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

{CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS} 1. Variable aleatoria Variable aleatoria Si se define la variable aleatoria X como “la suma de los resultados”, entonces los valores que toma la variable aleatoria, es decir, el recorrido de X corresponde al conjunto {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, ya que son los valores que se obtienen al sumar todos los posibles resultados. Ejemplo: Un experimento aleatorio es “lanzar una moneda tres veces”. El espacio muestral de este experimento es: {CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS} Si ahora se define la variable aleatoria X como “el número de caras en los resultados”, entonces el recorrido de X es el conjunto {0, 1, 2, 3}, donde en uno de los casos la variable toma el valor 0, en tres casos la variable toma el valor 1, en tres casos la variable toma el valor 2 y en un caso la variable toma el valor 3.

1. Variable aleatoria Esperanza matemática Sea X una variable aleatoria que toma los valores reales {x1, x2, x3, …, xk}. La esperanza matemática o valor esperado E(X), corresponde a la suma de los productos entre cada valor que toma la variable y su probabilidad. Es decir: E(X) = x1 · P(X = x1) + x2 · P(X = x2) + x3 · P(X = x3) + … + xk · P(X = xk) donde P(X = xi) es la probabilidad que la variable aleatoria X tome el valor xi. Ejemplo: En una caja hay cuatro bolitas azules y dos bolitas rojas, todas de igual peso y tamaño. Un experimento consiste en extraer al azar dos bolitas, una tras otra y sin reposición, y se define la variable aleatoria X como el número de bolitas azules que se extraen. Entonces, el valor esperado de X es:

1. Variable aleatoria Esperanza matemática En la caja hay 6 bolitas, de las cuales 4 son azules. Como se extraen dos bolitas, entonces los valores que puede tomar X son 0, 1 y 2. P(X = 0) = · = (Probabilidad de extraer ninguna azul) P(X = 1) = · + · (Probabilidad de extraer solo una azul) = + = P(X = 2) = · = (Probabilidad de extraer dos azules)

1. Variable aleatoria Esperanza matemática Luego: E(X) = 0 · P(X = 0) + 1 · P(X = 1) + 2 · P(X = 2) = 0 · + 1 · + 2 · = + = Por lo tanto, el valor esperado de X es .

EJERCICIOS PSU 1. Un dado especial de seis caras tiene en tres de sus caras el número 2, en una de sus caras el número 3 y en dos de sus caras el número 6. Se lanza el dado y se define la variable aleatoria X como el resultado del lanzamiento. El valor esperado (esperanza matemática) de X es 2 B) 2,83 33… C) 3 D) 3,5 E) 3,6

2. En un curso hay 15 mujeres y 10 hombres 2. En un curso hay 15 mujeres y 10 hombres. Se escogen al azar dos personas del curso, una tras otra y con reposición, y se define la variable aleatoria X como la cantidad de mujeres escogidas. ¿Cuál es el valor esperado (esperanza matemática) de X? A) 0,6 B) 0,96 C) 1 D) 1,2 E) 1,5   3. Se escoge al azar tres letras distintas de la palabra RESTA y se define la variable aleatoria X como la cantidad de consonantes obtenidas. El valor esperado (esperanza matemática) de X es A) 0,6 B) 1 C) 1,2 D) 1,5 E) 1,8

1. Variable aleatoria Distribuciones estadísticas Cuando una muestra estadística no agrupada es muy grande, y la variable estadística es continua, es mucho más conveniente representar la distribución de frecuencias relativas mediante una función de densidad. Ejemplo: El siguiente gráfico muestra la función de densidad de una variable estadística continua X que puede tomar valores entre 2 y 8. 2 8 Frecuencia relativa X El área total encerrada por cualquier distribución es 1. Esto significa que en su rango se encuentra el 100% de los datos.

1. Variable aleatoria Distribuciones estadísticas El área que se encuentra bajo cualquier porción de la curva representa el porcentaje de los datos que se encuentra en dicho intervalo, es decir, la probabilidad P de que la variable tome algún valor dentro de él. Ejemplo: A continuación se indica el área de ciertas secciones de la curva anterior. 2 8 Frecuencia relativa X 5 7 0,3 0,6 0,1 Se puede interpretar como: El 30% de los datos es menor o igual que 5, o sea, P(X ≤ 5) = 0,3 El 60% de los datos está entre 5 y 7, o sea, P(5 ≤ X ≤ 7) = 0,6 El 10% de los datos es mayor o igual que 7, o sea, P(X ≥ 7) = 0,1

2. Distribución normal Distribución normal tipificada Es una distribución estadística cuya función de densidad es simétrica con respecto al eje Y, y cuya forma se denomina “campana de Gauss”. Sea Z una variable estadística. Se dice que Z se distribuye de forma normal tipificada o estandarizada si la media, la moda y la mediana de la distribución son 0, y su desviación estándar es 1  Z ~ N(0, 1).   Z – 1 3 2 1 – 2 – 3 34,1% 13,6% 2,1% Teóricamente Z puede tomar cualquier valor real, sin embargo, el 99,6% de los datos (prácticamente todos) se encuentran entre – 3 y 3, distribuyéndose como indica el gráfico.

2. Distribución normal Distribución normal tipificada En una curva de distribución normal, las áreas por intervalo son muy difíciles de calcular, por lo cual existe una tabla en el que se indican sus valores aproximados, donde el área bajo la curva es equivalente a la probabilidad que los datos sean menores o iguales que un determinado valor, P(Z ≤ z). Aquí se presenta parte de ella. Nota: En una distribución con variable continua no se pueden calcular probabilidades de valores puntuales, solo de intervalos. Luego, P(Z = z) = 0, por lo cual P(Z  z) = P(Z < z).

2. Distribución normal Distribución normal tipificada Ejemplo: Sea Z una variable aleatoria con distribución normal tipificada. La probabilidad que el valor de Z sea menor o igual que 1,15 es 0,875; ya que es igual al área bajo la curva hasta este punto. Es decir, el 87,5% de la población es menor o igual que 1,15. Z 1,15 Área bajo la curva Nota: Por simetría de la curva, el 87,5% de la población es mayor o igual que – 1,15.

2. Distribución normal Distribución normal tipificada Propiedades: X – a b a Si se conoce P(X ≤ a) y P(X ≤ b), con a > b, entonces: P(X ≥ a) = 1 – P(X ≤ a) (ya que el área total bajo la curva es 1) P(X ≥ – a) = P(X ≤ a) (ya que la curva es simétrica) P(b ≤ X ≤ a) = P(X ≤ a) – P(X ≤ b) (por descomposición de áreas)

2. Distribución normal Distribución normal no tipificada En la vida cotidiana existen muchos parámetros estadísticos que al ser graficados con respecto a su frecuencia tienen un comportamiento “normal”: estatura, peso, cociente intelectual, presión arterial, etc. Matemáticamente, significa que su gráfico tiene igual forma y características gráficas que la distribución normal tipificada, pero con distinta media y/o desviación estándar. Se llaman distribuciones normales no tipificadas (o no estandarizadas). X μ – σ μ μ + σ Nota: Si la desviación estándar aumenta, el ancho de la curva aumenta, mientras que su altura disminuye.

2. Distribución normal Distribución normal no tipificada Sea X una variable con distribución normal no tipificada de media μ y desviación estándar . Para transformar una distribución normal no estandarizada a una distribución normal tipificada se debe hacer un cambio de variable. Es decir, la variable X se transforma en una variable Z con distribución normal tipificada.

2. Distribución normal Distribución normal no tipificada Ejemplo: El siguiente gráfico muestra el resultado de la medición de peso de más de dos millones de recién nacidos durante ocho años. Peso (gramos) Frecuencia relativa 3.200 2.600 5.000 4.400 3.800 2.000 1.400 Corresponde a una distribución normal de promedio 3.200 gramos y desviación estándar de 600 gramos. Luego, al hacer el cambio de variable cada valor del peso pasa a tener un valor asociado de Z.

2. Distribución normal Distribución normal no tipificada Ejemplo: Si Peso = 4.400  Entonces, si se quiere saber qué porcentaje de los recién nacidos registrados tuvo un peso menor o igual que 4.400 gramos, basta con determinar el porcentaje de los valores de Z que tienen un valor menor o igual que 2. Según la tabla tipificada, el valor del área ]–, 2] es 0,977, lo que significa que el 97,7% de los datos tipificados es menor o igual que 2. Entonces, para el caso no tipificado, el valor del área ]–, 4.400] también es 0,977, lo que significa que el 97,7% de los datos no tipificados es menor o igual que 4.400.

2. Distribución normal Distribución normal no tipificada Peso (gramos) Frecuencia relativa 3.200 2.600 5.000 4.400 3.800 2.000 1.400 Z – 1 3 2 1 – 2 – 3 Distribución normal tipificada Media = 0 Desviación estándar = 1 Distribución normal no tipificada Media = 3.200 gramos Desviación estándar = 600 gramos 97,7% 4.400 97,7% 2

2. Distribución normal Intervalos de confianza Sea X una variable aleatoria que se distribuye de forma normal en una cierta población, con desviación estándar σ. Si la población es muy grande resulta bastante difícil calcular la media μ de X. Sin embargo, si se saca una muestra de X de promedio , se puede determinar un intervalo de confianza dentro del cual se encuentre μ, con un cierto nivel de confianza. X 1 – α Nota: α se conoce como el nivel de significancia y (1 – α) se conoce como el nivel de confianza.

2. Distribución normal Intervalos de confianza Ejemplo: Sea Z una variable aleatoria con distribución normal tipificada. Si el nivel de confianza es del 95%, entonces: Entre – 1,96 y 1,96 se encuentra el 95% de la población, es decir, en el intervalo: [– 1,96; 1,96]. (1 – α) · 100 = 95 (1 – α) = 0,95 α = 0,05 = 0,025 1 – = 0,975 Luego: = 1,96

2. Distribución normal Intervalos de confianza Si de una población, que bajo una cierta variable tiene un comportamiento normal con media μ y desviación estándar σ, se extrae una muestra de n elementos, donde el promedio de la muestra es , entonces el intervalo de confianza, con un nivel de confianza (1 – α), es: [ – E, + E] Nota: Corresponde al valor que toma la variable aleatoria Z, con distribución normal tipificada, cuando el área bajo la curva es Donde E es el error, y se determina con la fórmula: De esto se concluye que con un (1 – α)% de seguridad, la media de la población se encuentra en el intervalo [ – E, + E].

2. Distribución normal Intervalos de confianza Ejemplo: En una plantación, el peso de las sandías se ajusta a una distribución normal cuya desviación estándar es de 1.000 gramos. Se extrae una muestra de 64 sandías al azar y se determina que el promedio de dicha muestra es de 5.430 gramos. Considerando un nivel de confianza del 90%, la media del peso de las sandías de la plantación, en gramos, se encuentra en el intervalo… Como se desea trabajar con un nivel de confianza del 90%, entonces (1 – α) es igual a 0,9. Luego α = 0,1, por lo tanto: Extrayendo los datos del enunciado: σ = 1.000 gramos. n = 64 sandías. = 5.430 gramos. = 1,64

2. Distribución normal Intervalos de confianza Sustituyendo los datos conocidos en la fórmula del error y calculando: Luego, el intervalo de confianza corresponde a: [ – E, + E] = [5.430 – 205, 5.430 + 205] = [5.225, 5.635]

Pregunta oficial PSU Un estuche contiene solo 8 lápices del mismo tipo, de los cuales 3 son azules y 5 son rojos. Si se extraen simultáneamente, al azar, 4 lápices del estuche y se define la variable aleatoria X como el número de lápices azules extraídos, ¿cuáles son todos los posibles valores de X? A) 1, 2 y 3 B) 0, 1, 2 y 3 C) 1, 2, 3 y 4 D) 0, 1, 2, 3 y 4 E) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2016. ALTERNATIVA CORRECTA B

Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 1 A Azar Comprensión 2 B ASE 3 4 E 5 C Aplicación 6 7 8 D 9 10 11 12

Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 13 E Azar Aplicación 14 A 15 C Datos Comprensión 16 17 B 18 19 ASE 20 D 21 22 23 24 25

Síntesis de la clase Variable aleatoria y distribución normal asocia un evento con un valor numérico. Esperanza matemática: E(X) = x1 · P(X = x1) + x2 · P(X = x2) + x3 · P(X = x3) + … + xk · P(X = xk) Distribución normal no tipificada: Distribución normal tipificada: Curva simétrica con media 0 y desviación estándar 1. Intervalos de confianza: