TEOREMAS DE SEMEJANZA TEOREMA DE THALES .

Comprender y aplicar el teorema de Thales sobre trazos OBJETIVO Comprender y aplicar el teorema de Thales sobre trazos proporcionales.

UN POCO DE HISTORIA Thales vivió alrededor del año 640 al 560 a.C. en Mileto, Asia menor (actual Turquía). Es considerado el primero de los siete sabios de Grecia. Padre de las matemáticas y la filosofía griega, fue el primero en intentar explicar el mundo a través de causas naturales, aplicando la razón y no acontecimientos divinos de la creación. También fue un gran astrónomo. Se dice que logró predecir el eclipse solar del año 585 a.C.

Una anécdota contada por Platón “Una noche Thales estaba observando el cielo y tropezó. Un sirviente lo Levantó y le dijo: cómo pretendes entender lo que pasa en el cielo, si no puedes ver lo que está a tus pies”.

Curiosidades…. Se cuenta que comparando la sombra de un bastón y la sombra de las pirámides, Thales midió, por semejanza, sus alturas respectivas. La proporcionalidad entre los segmentos que las rectas paralelas determinan en otras rectas dio lugar a lo que hoy se conoce como el teorema de Thales.

EN RESUMEN… Teorema de Thales: Tres o más rectas paralelas que cortan a dos o más transversales, determinan sobre ellas segmentos proporcionales. Recíproco del Teorema de Thales: Si tres o más rectas determinan segmentos proporcionales sobre dos transversales, entonces las rectas son paralelas entre sí.

Aplicaciones de esta idea… Calcula la altura del siguiente edificio x 5 m 3 m 12 m Escribimos la proporción y al resolverla tenemos 3 • x = 5 • 15 x = 75 3 X = 25 m 15 m

1ER TEOREMA PARTICULAR DE THALES: Al cortar los lados de un ángulo por dos paralelas, los segmentos que intersecan los lados son proporcionales. HIPÓTESIS: L1 // L2 TESIS:

Ejercitando lo aprendido… EJEMPLO 1: En la figura L1 // L2 // L3 , T y S transversales, calcula la medida del trazo x L1 L2 L3 T S 8 24 x 15 Ordenamos los datos en la proporción, de acuerdo al teorema de Thales 15 Es decir: 8 x = 24 Y resolvemos la proporción 24 • x = 8 • 15 X =8 • 15 24 X = 5

EJEMPLO 2: En la figura L1 // L2 // L3 , T y S son transversales, calcula x y el trazo CD Formamos la proporción 3 x+4 = x+1 2 Resolvemos la proporción 3(x + 1) = 2(x + 4) 3x + 3 = 2x + 8 3x - 2x = 8 - 3 X=5 Luego, como CD = x + 4 CD= 5 + 4 = 9

2DO TEOREMA PARTICULAR DE THALES: Al cortar los lados de un ángulo por dos paralelas, los segmentos que se forman desde el vértice a los puntos de intersección de las paralelas son proporcionales entre sí. HIPÓTESIS: L1 // L2 TESIS:

EJEMPLO 1: En el dibujo: Si L1 // L2 // L3, entonces AC mide?. Aplicando Thales, tenemos: T S D A L1 X 3 E B L2 5X-2 12 C F L3

EJEMPLO 2: En el dibujo: Si L1 // L2 // L3, entonces el valor de x es?. 15x +60 –x2 -4x = 18x –x2 -72 +4x

3ER TEOREMA PARTICULAR DE THALES: Al cortar los lados de un ángulo por dos paralelas, éstas son entre sí como los segmentos medidos desde las paralelas al vértice. HIPÓTESIS: L1 // L2 TESIS:

EJEMPLO : En el dibujo: Si L1 // L2 , entonces el valor de BC es?.

A esta forma de tomar los trazos, se le llama “la doble L” Triángulos de Thales En dos triángulos de Thales, sus lados, tienen la misma razón  de semejanza  B C A D E AB De acuerdo a esto, en la figura BC// ED, entonces, con los lados de los triángulos AED y ABC ocurre: AE ED = BC O también AE AB = ED BC A esta forma de tomar los trazos, se le llama “la doble L”

EJEMPLO: En el triángulo ABC, DE//BC . Calcule x y el trazo AE Por que x+3+x = 2x+3 Formamos la proporción A B C x+3 x 8 12 D E x+3 2x+3 = 12 8 Resolvemos la proporción 8(2x + 3) = 12( x + 3) 16x + 24 = 12x + 36 16x – 12x = 36 – 24 4x = 12 X = 12 = 3 4 Por lo tanto, si AE = x + 3 = 3 + 3 = 6

TEOREMA GENERAL DE THALES "Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales entre sí. En el dibujo: Si L1 // L2 // L3,// L4 , T y S transversales, los segmentos a, b, c, d , e y f son proporcionales T S Es decir: a d L1 = b e L2 L3 c f L4

Aplicaciones del Teorema de Thales HIPÓTESIS: L1 // L2 TESIS:

Ejercitando lo aprendido… Ejemplo 1: En la siguiente figura L1//L2. Si BP = 6 cm., CP = 4 cm., CD = 3 cm., AB = ? X 6 4 3

Ejemplo 2:Resuelve el siguiente problema: Antonia y su hermana Camila se encuentran a 50 cm de distancia una de otra y a cierta hora Antonia genera una sombra de 120 cm. Si las sombras terminan en un mismo punto y se sabe que Camila mide 1,45 m y es más alta que su hermana, ¿cuál es la altura aproximada de su hermana?

Recuerda…para lograr aprendizajes SIGNIFICATIVOS DEBES REFORZAR CON ACTIVIDADES DE TU LIBRO PAGINA 114 y 115