ANOVA

 Se utiliza para probar hipótesis sobre la igualdad de 3 o más medias poblacionales  Implica hacer un examen de las varianzas muestrales (de ahí su nombre)  Origen en la agricultura

 Unidades experimentales: Son los objetos que reciben el tratamiento: empleados, pacientes, etc  Factor: Es la fuerza o variable cuyo impacto en tales unidades experimentales se desea medir: capacitación, rendimiento, programas terapéuticos.  Tratamientos: niveles del factor: programas, variedades, etc.  Réplicas

 Modelos de efectos fijos: se seleccionan tratamientos específicos o se fijan antes del estudio.  Modelo de efectos aleatorios: Los niveles (tratamientos) utilizados en el estudio se seleccionan aleatoriamente de una población de niveles posibles.

 1.- Todas las poblaciones involucradas son normales.  2.- Todas las poblaciones tienen la misma varianza.  3.- Las muestras se seleccionan independientemente.

 Ho: μ 1 =μ 2 =μ 3 =…=μ C c= No de tratam.  Ha: No todas las medias son iguales.

 Varios sujetos o unidades experimentales se asignan aleatoriamente a diferentes niveles de un solo factor:  Varios empleados (unidades experimentales) pueden seleccionarse aleatoriamente para participar en diversos programas (niveles diferentes) de un programa de capacitación (el factor).

 Se realiza un estudio para comparar la eficacia de tres programas terapéuticos para el tratamiento del acné de tipo medio a moderado. Se emplean tres métodos:  I. El método más antiguo supone el lavado, dos veces al día, con un cepillo de polietileno y un jabón abrasivo, junto con el uso diario de 250 mg de tetraciclina.

 II. Éste método, el utilizado actualmente, consiste en la aplicación de crema de tretinoína, evitar el sol, lavado dos veces al día con un jabón emulsionante y agua, y utilización, dos veces al día, de 250 mg de tetraciclina.  III. Éste es un nuevo método que consiste en evitar el agua, lavado dos veces al día con un limpiador sin lípidos, y uso de crema de tretinoína y de peroxido de benzoilo.

 Uno de los focos de contaminación del agua lo constituyen los vertidos industriales y agrícolas ricos en fósforo. Demasiado fósforo puede causar una explosión en el crecimiento de plantas y microorganismos, a lo que se le denomina afloramiento. Se determina el nivel de fósforo en los cuatro lagos principales de una determinada región, por extacción y análisis de agua.

 Se piensa que uno de los lagos se está viendo excesivamente contaminado por los vertidos de una planta industrial próxima y se espera que, comparando el nivel de fósforo de este lago con el de los otros, esto se demuestre.

 El director de una gran empresa desea determinar si tres programas de capacitación distintos tienen efectos diferentes en los niveles de productividad de los empleados. Se seleccionan aleatoriamente 14 empleados y se asignan a uno de los tres programas. Al terminar la capacitación, cada empleado responde un examen para determinar su competencia. Se colocan 4 empleados en el 1° programa y 5 en c/u de los otros 2.

 Medias X j  X  =80 X 2 =81 X 3 =85  X ij = celdas i=filas o renglones  J= columnas  r= número de filas o renglones  c=número de columnas o tratamientos

 Gran media X= ∑Xij n X = … =

 1. Entre el # total de las 14 observaciones se llama variación total  2. Entre los diferentes tratamientos (muestras): variación entre muestras  3. Dentro de un tratamiento (muestra). Variación dentro de la muestra.  Es al comparar estas variaciones que se puede utilizar el ANOVA para probar la igualdad de las medias de poblaciones diversas.

 Para determinar si tratamientos diferentes tienen efectos diferentes en sus respectivas poblaciones, se hizo una comparación entre la variación dentro de las muestras (w/s) y la variación entre las muestras (B/S)

 Error de muestreo aleatorizado.  Habilidad innata de los empleados.  Motivación personal.  Esfuerzos individuales.  Destreza.  Factor suerte.  Otros.

 El tratamiento en sí mismo no producirá ninguna variación en las observaciones dentro de alguna muestra, debido a que todas las observaciones en dicha muestra reciben el mismo tratamiento.

 EFECTO DE TRATAMIENTO: Cada muestra tiene un tratamiento diferente.  Si un efecto de tratamiento existe puede detectarse comparando la variación entre las muestras y la variación dentro de las muestras.  Si la variación entre las muestras es significativamente mayor que la variación dentro de las muestras, un fuerte efecto de tratamiento está presente

 Esta diferencia entre la variación “entre” muestras y la variación “dentro” de las muestras es lo que mide el análisis de varianza.  Para medir tal efecto se utiliza la razón F, que es una razón de la variación entre muestras y la variación dentro de las muestras.  Vt = Vtr + Ve

 1.- Suma de cuadrados total (SCT).  2.- Suma de cuadrados de los tratamientos (SCTr).  3.- Suma de cuadrados del error (SCE).  SCT = SCTr +SCE

 Varianza maestral  s²= ∑(Xi – X)² / n-1  Suma de cuadrados total  SCT = ∑ ∑ (Xij –X )²  A la gran media se le resta cada una de las 14 observaciones, las diferencias se elevan al cuadrado y se suman.

 SCT =( )²+( )²+( )²+( )²+…+( )² =  SCT = la variación de las observaciones alrrededor de la gran media.

 SCTr = ∑rj(Xj –X)  Rj = número de renglones en cada tratamiento.  SCTr = 4( )²+5( )²+5( )²  SCTr = 65.7  SCTr refleja la variación en las medias de la columna alrrededor de la gran media.

 SCE = ∑∑(Xij-Xj)²  SCE = (85-80)²+(72-80)²+(83-80)²+(80-80)² primer tratamiento.  SCE = +(80-81)²+(84-81)²+(78-81)²+(82- 81)²+(81-81)² segundo tratamiento  SCE = +(82-85)²+(80-85)²+(85-85)²+(90- 85)²+(88-85)² =  SCT = SCTr + SCE = 251.7=

 S² = ∑( Xi – X )² /n-1  La suma de cuadrados se divide por sus grados de libertad.  SCT = n – 1 gl.  SCTr = c-1  SCE = n-c

 Cuadrado medio total CMT = SCT/n-1  Cuadrado medio de tratamientos:  CMTr = SCTr / c-1  Cuadrado medio del error CME=SCE/n-c  CMT = SCT/n /14-1 = 19.4  CMTr = SCTr / c /3-1 = 32.9  CME = SCE / n-c 186/ 14-3 = 16.9

 RAZON F = CMTr / CME  F = 32.9/ 16.9 = 1.94