Arquitectura de Computadores Clase 2 Algebra Booleana y Número Binarios IIC 2342 Semestre Rubén Mitnik Pontificia Universidad Católica de Chile Escuela de Ingeniería Departamento de Ciencia de la Computación

Objetivos Capítulo 2 : Sistemas Digitales Algebra de Boole Números Binarios y bases Aritmética Binaria Objetivos R.Mitnik 2Arquitectura de Computadores

R.Mitnik Arquitectura de Computadores3 Índice Capítulo 2 : Sistemas digitales 2.1 Algebra Booleana 2.2 Circuitos Combinacionales 2.3 ALU 2.4 Flip-Flops, Registros y Circuitos de Memoria

R.Mitnik Arquitectura de Computadores4 Introducción George Boole (Lincoln, Reino Unido, Ballintemple, actual Irlanda, 1864) Aproximadamente en el año 1850 George Boole, desarrolló un sistema algebraico para formular proposiciones con símbolos. Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana

R.Mitnik Arquitectura de Computadores5 Boole probablemente fue uno de los pocos matemáticos de su época que también escribió sobre lógica. En la lógica Booleana los elementos o proposiciones sólo pueden tener dos valores: “true” o “false”. Ej:”Hoy es 5 de Julio del 2006”, false “Estamos en Chile”, true. Introducción Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana

R.Mitnik Arquitectura de Computadores6 Estas proposiciones se pueden combinar para formar nuevas proposiciones más complejas. Ej.”Hoy no es 5 de Julio del 2006”, true. “Estamos en Chile y es miércoles”, false. “Estamos en Chile o es miércoles”, true. Introducción Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana

R.Mitnik Arquitectura de Computadores7 El Algebra de Boole permite representar matemáticamente las proposiciones: Los valores de una proposición pueden ser 1(true) ó 0 (false). Condiciones Lógicas Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana

R.Mitnik Arquitectura de Computadores8 Y las funciones para combinarlas son: NOT(x), verdadero cuando x es falsa. AND (x,y), verdadero cuando x e y son verdaderas. OR(x,y), verdadero cuando al menos una de las dos es verdadera. XOR(x,y) verdadero cuando x o y es verdadera NAND(x,y), falso cuando que x e y son verdaderas. NOR(x,y), falso cuando al menos una de las dos es verdadera. Condiciones Lógicas Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana

R.Mitnik Arquitectura de Computadores9 x xy xy Condiciones Lógicas Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana

R.Mitnik Arquitectura de Computadores10 xy xy xy Condiciones Lógicas Capítulo 2 : Sistemas digitales - Algebra Booleana

R.Mitnik Arquitectura de Computadores11 Condiciones Lógicas Capítulo 2 : Sistemas digitales - Algebra Booleana Se pueden hacer combinaciones más complejas, usando las funciones anteriores, por ej: xyzxyyzw

R.Mitnik Arquitectura de Computadores12 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana

R.Mitnik Arquitectura de Computadores13 Sistema Posicional Sistema numérico basado en la posición relativa de los símbolos. Valor de un símbolo depende de su posición y la base. Ejemplo: sistema decimal (base 10). (2008) 10 = 2* * * *10 0 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana

R.Mitnik Arquitectura de Computadores14 Forma genérica: (c n-1 c n-2 …c 1 c 0 ) r = c n-1 *r n-1 + c n-2 *r n-2 +…+ c 1 *r 1 + c 0 *r 0 Donde r es la base, y los coeficientes c i pueden tener valores entre 0 y r-1. El sistema binario es un sistema posicional en base 2. Ej. (11010) 2 =1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +1* *2 0 =(26) 10 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana

R.Mitnik Arquitectura de Computadores15 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Partiendo en 0. Paso al siguiente símbolo del dígito menos significativo. Si no quedan símbolos vuelvo al primero, y paso al siguiente símbolo de la siguiente posición. Si en esa posición tampoco quedan símbolos, vuelvo al primero, y sigo buscando en las siguientes posiciones hasta encontrar una en la que queden símbolos. Para contar en cualquier base:

R.Mitnik Arquitectura de Computadores16 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana 0 Para contar en binario:

R.Mitnik Arquitectura de Computadores17 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana 0 Para contar en binario: 1

R.Mitnik Arquitectura de Computadores18 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana 0 Para contar en binario: 1

R.Mitnik Arquitectura de Computadores19 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana 0 Para contar en binario: 01 10

R.Mitnik Arquitectura de Computadores20 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana 0 Para contar en binario:

R.Mitnik Arquitectura de Computadores21 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana 0 Para contar en binario:

R.Mitnik Arquitectura de Computadores22 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana 0 Para contar en binario:

R.Mitnik Arquitectura de Computadores23 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana (bit menos significativo)‏ (bit más significativo)‏ ¿Cómo trasformar de número decimal a número binario? Método divisiones sucesivas: 26 : 2 = 13 resto = 0 13 : 2 = 6resto = 1 6 : 2 = 3 resto = 0 3 : 2 = 1 resto = 1 1 : 2 = 0 resto = 1 (26) 10 = (11010) 2

R.Mitnik Arquitectura de Computadores24 ¿Cómo trasformar de número binario a número decimal? Lo expresamos como suma de potencias de 2: (11010) 2 = 1*2 4 +1*2 3 +0*2 2 +1* *2 0 = = (26) 10 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana

R.Mitnik Arquitectura de Computadores25 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana decimalbinario decimalbinario

R.Mitnik Arquitectura de Computadores26 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Sistema Hexadecimal Sistema numérico en base 16. Los dígitos van de 0 a 15, Del 10 al 15 se remplazan por las letras A-F, para que 1digito  1 símbolo. Ej (F1) 16 = (F)* *16 0 = (15)* *16 0 (F1) 16 = (241) 10

R.Mitnik Arquitectura de Computadores27 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana decimalbinariohexa A decimalbinariohexa B C D E F

R.Mitnik Arquitectura de Computadores28 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana ¿Cómo trasformar de número binario a número hexadecimal? Trasformar base 2 a base 16. Hacemos grupos de a 4. (2 4 = 16) DD 9 9Dh

R.Mitnik Arquitectura de Computadores29 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana ¿Cómo trasformar de número hexadecimal a número binario? Trasformar base 16 a base 2. Escribimos cada dígito como su representación binaria. 1DEh decimalhexa 10A 11B 12C 13D 14E 15F

R.Mitnik Arquitectura de Computadores30 Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana decimalbinariohexa A decimalbinariohexa B C D E F

R.Mitnik Arquitectura de Computadores31 Independiente del sistema numérico. Largo de palabra determina cantidad de números representables. r: base n: largo de palabra r n : cantidad de números. Ej. Problema con fechas de computadores Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Palabras de largo determinado

R.Mitnik Arquitectura de Computadores32 Las condiciones lógicas se pueden aplicar a los números binarios. La condición se evalúa bit a bit (bitwise). Ej. Representación Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Condiciones Lógicas en números binarios

R.Mitnik Arquitectura de Computadores33 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana

R.Mitnik Arquitectura de Computadores34 Suma Para sumar dos números binarios se opera de igual forma que para sumar números decimales. Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana =2= 1*2 1 +0*2 0 =(10) carry

R.Mitnik Arquitectura de Computadores35 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana =1=1*2 0 =(1) Suma Para sumar dos números binarios se opera de igual forma que para sumar números decimales.

R.Mitnik Arquitectura de Computadores36 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana =1=1*2 0 =(1) Suma Para sumar dos números binarios se opera de igual forma que para sumar números decimales.

R.Mitnik Arquitectura de Computadores37 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana carry 1+1=2 1*2 1 +0*2 0 =(10) 2 0 Suma Para sumar dos números binarios se opera de igual forma que para sumar números decimales.

R.Mitnik Arquitectura de Computadores38 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana carry 1+1+1=3 =1*2 1 +1*2 0 =(11) 2 1 Suma Para sumar dos números binarios se opera de igual forma que para sumar números decimales.

R.Mitnik Arquitectura de Computadores39 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana =1=1*2 0 =(1) 2 1 Suma Para sumar dos números binarios se opera de igual forma que para sumar números decimales.

R.Mitnik Arquitectura de Computadores40 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana =0=0*2 0 =(0) 2 0 Suma Para sumar dos números binarios se opera de igual forma que para sumar números decimales.

R.Mitnik Arquitectura de Computadores41 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Suma Para sumar dos números binarios se opera de igual forma que para sumar números decimales. 1+1=2 1*2 1 +0*2 0 =(10) 2 1 carry

R.Mitnik Arquitectura de Computadores42 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana = 1 =1*2 0 =(1) 2 1 Suma Para sumar dos números binarios se opera de igual forma que para sumar números decimales.

R.Mitnik Arquitectura de Computadores43 ¿Qué pasa si el largo de la suma sobrepasa el largo de los sumandos? Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana A este bit se le llama carry-out

R.Mitnik Arquitectura de Computadores44 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Resta La forma más simple de restar dos números es sumando. A – B = A + (-B) Para hacer esto necesitamos una forma de representar números negativos

R.Mitnik Arquitectura de Computadores45 Representación de números negativos Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Primera aproximación Agregamos un bit que indica el signo: 0 positivo, 1 negativo. El resto de los bits indican el número. Ej = = 1. S #

R.Mitnik Arquitectura de Computadores46 Representación de números negativos Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Gráficamente: Decimal Binario (11111,-15) (10000,0) (01111,15) (00000,0)

R.Mitnik Arquitectura de Computadores47 Representación de números negativos Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Segunda aproximación Agregamos un bit que indica el signo: 0 positivo, 1 negativo. El resto de los bits se niegan, si el número es negativo. Ej = = #

R.Mitnik Arquitectura de Computadores48 Representación de números negativos Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Gráficamente: Decimal Binario (11111,0) (10000,-15) (01111,15) (00000,0)

R.Mitnik Arquitectura de Computadores49 Representación de números negativos Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Complemento de 2 Agregamos un bit que indica el signo: 0 positivo, 1 negativo. El resto de los bits se niegan y se suma 1, si el número es negativo. Ej = = #

R.Mitnik Arquitectura de Computadores50 Representación de números negativos Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Gráficamente: Decimal Binario (11111,-1) (10000,-16) (01111,15) (00000,0)

R.Mitnik Arquitectura de Computadores51 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Resta Para poder restar de la forma A+(-B), debemos poder calcular (–B) : el opuesto aditivo de B. Por definición B + (-B) = 0. Usando nuestra primera aproximación: B = B = Incorrecto! carry

R.Mitnik Arquitectura de Computadores52 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Resta Para poder restar de la forma A+(-B), debemos poder calcular (–B) : el opuesto aditivo de B. Por definición B + (-B) = 0. Usando nuestra segunda aproximación: B = B = Incorrecto!

R.Mitnik Arquitectura de Computadores53 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Resta Para poder restar de la forma A+(-B), debemos poder calcular (–B) : el opuesto aditivo de B. Por definición B + (-B) = 0. Usando complemento de 2: B = B = Correcto! carry

R.Mitnik Arquitectura de Computadores54 Aritmética Binaria Capítulo 2 : Sistemas digitales – Algebra Booleana Resta Por lo tanto para restar usaremos complemento de 2. A – B = A +C 2 (B)

Resumen Capítulo 2 : Sistemas digitales Algebra de Boole se basa en operadores lógicos. Representaciones en distintas bases y conversiones. Decimal – Binario – Hexadecimal. Tamaño de palabra  cantidad números representables. Representación de números negativos. Suma y Resta en base 2. Resumen R.Mitnik 55Arquitectura de Computadores