JUNIO 04/05: P-1

a) Determinar la región del plano complejo en la que la función es analítica. Considérese la determinación del logaritmo correspondiente al ángulo Re(w) Im(w) determinación

b) Determinar la imagen de la región , al considerar la función Re(z) 2 4 Re(Z) 2 4 6 8

Re(w) 3/16 1/4 Re(W) 3/8 1/2

Re(Z) -3/8 -1/2 Re(Z) 1/4 1/8

c) Dada la función f(z), obtener la serie de Laurent en torno a cada uno de sus puntos singulares. A la vista del desarrollo, clasificar las singularidades. Puntos singulares z0 = 0 z0 = 3

Polo doble 3 z0 = 0 z0 = 3 3 Polo simple

d) Obtener la solución de la integral donde , orientado en sentido positivo. Re(z) i 4 f analítica dentro y sobre C, excepto en el punto singular aislado z0=i

e) Obtener la solución de la integral donde , orientado en sentido positivo. Considérese que n es un entero positivo y 2

SEPTIEMBRE 02/03: P-1

Calcular la integral Donde C es el arco de circunferencia , orientado positivamente.

2. Haciendo uso de la teoría de residuos, calcular la integral donde C es la circunferencia , orientada positivamente. z=1 : polo simple : z=0 :

Luego es: Y entonces:

3. Calcular la integral ,donde C es la circunferencia orientada positivamente, utilizando el concepto de residuo en el infinito.

4. Obtener el número de raíces de la ecuación donde , en el círculo

5. Hallar el residuo logarítmico de la función respecto a la circunferencia Ceros de f(z): 2 ceros simples Polos de f(z):

JUNIO 02/03: P-1

Estudiar la derivabilidad de la función y en caso afirmativo hallar la derivada. u iv se cumplen las ECR sólo en x=0, y=0

2. Demostrar la expresión y calcular todos los valores posibles de .

3. Calcular donde C es la circunferencia con sentido positivo.

4. Calcular ,donde γ es el contorno indicado en la figura. -1 1

5. Calcular utilizando la teoría de residuos.

SEPTIEMBRE 01/02: P-2

Obtener los puntos del plano complejo donde la función es diferenciable. Calcular su derivada.

z=0

2. Obtener los puntos del plano complejo donde la función es analítica. Considerar la determinación principal.

Zonas de no analiticidad – plano w Re(w) Im(w) Re(w)<0 Im(w)=0 Im(z) Re(z) -1 1 (Re(z)<-1) y (Re(z)>1) Im(z)=0 Zonas de no analiticidad – plano z

3. Calcular la integral donde el contorno C es la circunferencia orientada de forma positiva.

2 -1 1 Segmento donde f(z) no es analítica

4. Calcular la siguiente integral definida utilizando la teoría de residuos:

5. Hallar el residuo de una función compuesta en el punto donde se verifican las siguientes condiciones: Expresamos la segunda condición

JUNIO 01/02: P-3

Hallar el residuo logarítmico de la función compleja respecto del contorno

2. Determinar el número de ceros con sus multiplicidades que tiene el polinomio complejo en el disco anular